.MCAD 310000000 \  docDocument MmcObject[џџџџ,, d2_graph_format graphData% axisFormat)L)Ltrace2D&&&&&&&&& & & & & &&& dim_formatTmasslengthtimecharge temperature luminosity substanceNumericalFormatQdii  shpRectV*Т™mcDocumentObjectState\ mcPageModelKš™™?š™™?š™™?š™™?mcHeaderFooterI@I |P CHeaderFooterJ@Ъ{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1033{\fonttbl{\f0\fswiss\fprq15 Arial;}{\f1\fnil\fprq1\fcharset0 Arial;}{\f2\fnil\fprq1\fcharset0 Arial;}} \viewkind4\uc1\pard\f0\fs18\{d\}\f1 \par \f2 \par } A:{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1033{\fonttbl{\f0\fswiss\fprq15\fcharset0 Arial;}{\f1\fswiss\fprq15 Arial;}{\f2\fnil\fcharset0 Arial;}{\f3\fnil\fprq1\fcharset0 Arial;}{\f4\fnil\fprq1\fcharset0 Arial;}} \viewkind4\uc1\pard\qc\f0\fs18 Electrostatics\f1 \par \f2 \par \par \f3 \par \par \f4 \par } A>{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1033{\fonttbl{\f0\fswiss\fprq15\fcharset0 Arial;}{\f1\fswiss\fprq15 Arial;}{\f2\fnil\fcharset0 Arial;}{\f3\fnil\fprq1\fcharset0 Arial;}{\f4\fnil\fprq1\fcharset0 Arial;}} \viewkind4\uc1\pard\qr\f0\fs18 Cylindrical Poisson \f1\{n\}\f2 \par \par \f3 \par \par \f4 \par } @J@я{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fnil\fprq15 Arial;}{\f3\fswiss Arial;}{\f4\fswiss\fprq15 Arial;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;} \deflang1033\pard\plain\f4\fs18 \par } @ђ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fnil\fprq15 Arial;}{\f3\fswiss Arial;}{\f4\fswiss\fprq15 Arial;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;} \deflang1033\pard\qc\plain\f3\fs20 \par } @ђ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fnil\fprq15 Arial;}{\f3\fswiss Arial;}{\f4\fswiss\fprq15 Arial;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;} \deflang1033\pard\qr\plain\f4\fs18 \par } @J@J ќЉёвMbP?ќЉёвMbP? TextState? TextStyle>@ ArialSerial_ParPropDefaultWџџџџџџџџNormal>@Arial@Wџџџџџџџџ Heading 1>@ Arial@Wџџџџџџџџ Heading 2 >@ Arial@Wџџџџџџџџ Heading 3 >@ Arial@Wџџџџ Paragraph >@ Arial@WџџџџList >@ Arial@WџџџџџџџџIndent >@Times New Roman@W џџџџџџџџTitle>@Times New Roman@W џџџџџџџџSubtitle џџџџџџџџ€font_style_listO font_stylePѓџџџєџџџ џџџџ VariablesTimes New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџ ConstantsTimes New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџTextArial@Pѓџџџєџџџ џџџџGreek VariablesSymbol@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 1Arial@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 2 Courier New@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 3Arial@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 4Times New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 5Times New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 6Arial@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 7Times New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџSymbolsSymbol@Pѓџџџѓџџџ џџџџCurrent Selection FontArial@Pѓџџџѓџџџ џџџџUndefined Font@Pѓџџџѓџџџ џџџџHeaderArial@Pѓџџџѓџџџ џџџџFooterArial@Pѓџџџєџџџ џџџџRotated Math FontTimes New Roman† TextRegion* docRegionGshpBoxU‡2A++ CharacterMap-RangeMap;ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFРŸОя1•Ф€Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ–CompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџНСzPфєZ ˆ1ƒrƒdƒdƒrƒrƒdƒdƒr„Ц‚(ƒr‚)†=„С„Е ˆ0ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9Вqtџџh/ џџџџџџџџ: ЏЂ б џџџ.  @ &OlePres000џџџџфOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџРџџџИџџџР ј & MathType№њ-@^єА Ќ ћ џTimes New Roman  ~ ~ а ~0-2 ьї 0yћ€ўTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 `і)y2 `О(y2 nK1yћ€ўSymbol~@0 М  ~ ~ а ~0-№2 Œ ey2 ns ry2 `дfyћ€ўSymbol~@$ R  ~ ~ а ~0-№2 `к=yћ€ўTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 `Hry2 Œ4dr2 nvdr2 `6rr2 Œxdr2 nКdr2 ŒZrr & џџџџћМ"System !ŠŒѓў ~-№NANI(*@Uы\ јTT T -@RFirst consider Poisson's equation in cylindrical coordinates with no z dependence:7R9R)S066060-@єThis equation can be solved by the relaxation method. We begin by writing Poisson's equation in finite-difference form, and express the new value of f in terms of the neighboring values, using page 1 of the Debye Shielding Exercise as a guide: 7–•є/<•08.1<28.@ Symbol/3<^48.1319є5<є6:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ17</є8<є90џџџџ@NormalArialџџџ :eqRegionB@U_[x;tree@ p<@@Шѕ€;=@@§@<>@@d=\f?@@Є=j@@@@‰Ч€<@A@@‰Ч@@@@B@@Ъ@@A@C@@Ъ@@B@D@@t@C0.5@E@@Žp€@C@F@@‰Ч€@E@G@@t@F1@H@@ћ€@F@I@@d@H\Dr@J@@Ъ€@H@K@@t@J2@L@@§€@J@M@@d@Lr@N@@Є@Lj@O@@§€@B@P@@d@O\f@Q@@‰Ч€@O@R@@d@Qj@S@@Д@Q1@T@@Ъ€@A@U@@Ъ@@T@V@@t@U0.5@W@@Žp€@U@X@@ˆЧ€@W@Y@@t@X1@Z@@ћ€@X@[@@d@Z\Dr@\@@Ъ€@Z@]@@t@\2@^@@§€@\@_@@d@^r@`@@Є@^j@a@@§€@T@b@@d@a\f@c@@ˆЧ€@a@d@@d@cj@e@@Д@c1@f@@Ъ€@@@g@@Ъ@@f@h@@t@g0.5@i@@ќ€@g@j@@d@i\Dr@k@@Д@i2@l@@ћ€@f@m@@§@@l@n@@d@m\r@o@@Є@mj@p@@Є@l\e.0@q*@U›,ы Ј $$P$P-A—At the origin, j = 0, we need to know fj-1, which is not defined, so we must use a different formula for j = 0 than the one above. The point r = -1 is the same point as the point at r = +1, because of the nature of cylindrical symmetry. We can use the formula for fj above, but for the value of f-1, we must substitute the value of f1. Then for the special point at the origin, the equation simplifies to: 7O&—@r<&@s8@q@t<@u8@q@ Symbol@r@v<@w8@q@ Arial@t@xe(`0@н@@ p@о@@ С€@н@п@@d@оjmax@р@@Д@о25@с*@UhS cz`/сЄЄ-number of grid points along r79@т<@у:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1@ф</@х<@ц0џџџџ@NormalArialџџџ @ч@B@U T^e,`.@ш@@ p@щ@@ С€@ш@ъ@@d@щj@ы@@Т€@щ@ь@@t@ы0@э@@Є@ыjmax@ю*@U€SёcŒ`-йqq-index for grid points79@я<@№:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1@ё</@ђ<@ѓ0џџџџ@NormalArialџџџ @є@B@U|G(ˆ5@ѕ@@ p@і@@ С€@ѕ@ї@@d@іrmax@ј@@Д@і0.01@љ*@Uh{‹pˆ6йАА-the maximum radius in meters79@њ<@ћ:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1@ќ</@§<@ў0џџџџ@NormalArialџџџ @џ@B@U(sb˜<ˆ7A@@ pA@@ С€AA@@dA\DrA@@ћ€AA@@dArmaxA@@ЄAjmaxA*@Uˆ{B‹ˆ8йКК-!the grid point spacing, in meters7!9!A@@ЄA<jA?@@Ъ€A;A@@@dA?nAA@@ЄA?qAB*@Uh /+pKбЧ Ч -@{the charge density at the jth grid point. We assume the same charge density n at all points inside the cylinder of charge. 7{9{AC<{AD:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1AE</{AF<{AG0џџџџ@NormalArialџџџ AH*@U;8ЋHX00p0p-BqHow do we know what to choose for the number of iterations? Poisson's equation is related to the diffusion equation because both have two spatial derivatives. The answer "diffuses" across the grid points. The characteristic time for diffusion is the square of the distance. If you measure the distance in grid points, then a first guess for the number of iterations is the square of the number of grid points. In this case, 625. After finding an answer, you should double the number of iterations to see if the answers change significantly. If they do, keep doubling the number until the answers do not change significantly. 7;;qAI<;AJ8AHmArialAK<6AL8AHAIAKAI9qAM@@§@B=B?@@dB>\fcalcB@@@ДB>0BA@@–Ф€B=BB@@+@BA@XBC@@€BABD*@Uш›>ЋђЈюVVV-ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFРСя1•ФРOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ<CompObjџџџџџџџџџџџџ fўџџџ ўџџџ ўџџџ  !"#$%&'()*+,-./0123456789:ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЈZF НС 0ћTѕ ˆ1…”ƒr–(–) ˆ2 ˆ1†+…”ƒrˆ2ƒr ƒj –(–)„Ц ƒi‚,ƒj†+ˆ1 †"ˆ2„Ц ƒi‚,ƒj †+ˆ1†"…”ƒrˆ2ƒr ƒj –(–)„Ц ƒi‚,ƒj†"ˆ1 –[–]†+ˆ1…”ƒz–(–) ˆ2 „Ц ƒi†+ˆ1‚,ƒj †"ˆ2„Ц ƒi‚,ƒj †+„Ц ƒi†"ˆ1‚,ƒj –[–]†+„С ƒi‚,ƒj „Е ˆ0 †=ˆ0ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9Вq& џџџџћџџџџџџџџЯ7ЩF  Ѓ џџџ.  @ 2&џџџџРџџџНџџџ`2§ & MathType ћўуSymbol~@ Д  ~ ~ а ~0-2 MS(yOlePres000џџџџ ˆ Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџћўуSymbol~@Д _  ~ ~ а ~0-№2 Mo)yњ- @ Ѓ ' B  ў ћўуSymbol~@ Е  ~ ~ а ~0-№2 Mл(yћўуSymbol~@Д `  ~ ~ а ~0-№2 Mё)y Ш % ћ§уSymbol~@ Ж  ~ ~ а ~0-№2 §[ [yћ§уSymbol~@Д a  ~ ~ а ~0-№2 §л+]y œ- ї/ћ€ўTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 ›10y2 ь$2y2 1y2 ,2y2 ю1y2 A2y2 ,A2y2 1y2 ‘1yћ џTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 Œо.0y2 3§.,y2 `ъ*,y2 `‚*1y2 `Е&,y2 `˜",y2 `0"1y2 ‡p2y2 `1y2 `ш,y2 ` ,y2 `C 1y2 ` ,y2 ‡ю2yћ€ўSymbol~@ И  ~ ~ а ~0-№2 i0=y2 p,+y2 щ'+y2 Ь#-y2 OSDy2 œ+y2 …Вњy2 Вњy2 пВћy2 ЅВљy2 …ыъy2 ыъy2 пыыy2 Ѕыщy2 ЩIїy2 ЛIїy2 ПIјy2 ХIіy2 ЩXчy2 ЛXчy2 ПXшy2 ХXцy2 EDy2 и-y2 >+y2 ! -y2 Щr їy2 Лr їy2 Пr јy2 Хr іy2 Щ{чy2 Л{чy2 П{шy2 Х{цy2 nDy2 ћ+y2 OЫDyћ џSymbol~@Д c  ~ ~ а ~0-№2 `*-y2 `Н!+y2 `Ї-y2 `а +yћ€ўSymbol~@ Й  ~ ~ а ~0-№2 ,.ey2 гТ-ry2 ё(fy2 ”%fy2 › fy2 Чfy2 щfy2 № fyћ џTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 3h/jy2 3Ў.iy2 `U+jy2 `У)iy2 ` 'jy2 `f&iy2 `#jy2 `m!iy2 `Sjy2 `™iy2 ŒŠjy2 `ujy2 `Лiy2 `| jy2 `Т iy2 ŒГjyћ€ўTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 O=zy2 ,оry2 /ry2 ,ry2 Xry2 OЕry & џџџџћМ"System !ŠŒѓў ~-№NANI"Arial GreekArial ItalicItalicGreek - -.!dvџ ПjU/ Б€Ba*@Uk‰{x\9-which can be rewritten79Bb<Bc:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Bd</Be<Bf0џџџџ@NormalArialџџџ Bg@U€ Б€ аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFАZУя1•ФOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџmCompObjџџџџџџџџџџџџ fўџџџ ; ўџџџ  !"#$%&'()*+,-./0123456789:<ўџџџ=>?ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЈZF НСQˆe „Ц ƒi‚,ƒj †!ˆ1ˆ2‚[ˆ1†+‚(…”ƒr‚/…”ƒz‚) ˆ2 ‚]ˆ1†+…”ƒrˆ2ƒr ƒj –(–)„Ц ƒi‚,ƒj†+ˆ1 †+ˆ1†"…”ƒrˆ2ƒr ƒj –(–)„Ц ƒi‚,ƒj†"ˆ1 †+…”ƒr–(–) ˆ2 …”ƒz–(–) ˆ2 „Ц ƒi†+ˆ1‚,ƒj †+„Ц ƒi†"ˆ1‚,ƒj –[–]†+…”ƒr–(–) ˆ2 „С ƒiўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9Вq& џџџџћџџџџџџџџA;ЩV  + џџџ.  @Р5&џџџџРџџџНџџџ€5§ & MathType њ- c э  q Œ +OlePres000џџџџ ˜ Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ FћўуSymbol~@0 У  ~ ~ а ~0-2 `"(yћўуSymbol~@ Ђ  ~ ~ а ~0-№2 |$)yћўуSymbol~@0 Ф  ~ ~ а ~0-№2 Mc"(yћўуSymbol~@ Ѓ  ~ ~ а ~0-№2 My$)y M" А%ћ§уSymbol~@0 Х  ~ ~ а ~0-№2 §ц%[yћ§уSymbol~@ Є  ~ ~ а ~0-№2 §I-]yћўуSymbol~@0 Ц  ~ ~ а ~0-№2 ў§.(yћўуSymbol~@ Ѕ  ~ ~ а ~0-№2 ў1)y u2 а4ћ€ўSymbol~@0 Ч  ~ ~ а ~0-№2 …ш4њy2 ш4њy2 пш4ћy2 Ѕш4љy2 …5ъy2 5ъy2 п5ыy2 Ѕ5щy2 u/Dy2 о-+y2 W)+y2 Oл"Dy2 и"Dy2 !!+y2 Щvїy2 Лvїy2 Пvјy2 Хvіy2 Щ…чy2 Л…чy2 П…шy2 Х…цy2 rDy2 -y2 k+y2 ЩМїy2 ЛМїy2 ПМјy2 ХМіy2 ЩХчy2 ЛХчy2 ПХшy2 ХХцy2 ИDy2 E+y2 3• Dy2 3Dy2 3o+y2 ƒЌyћ џSymbol~@ І  ~ ~ а ~0-№2 `+-y2 `H'+y2 `д-y2 `+yћ џTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 ŒЗ30y2 3ж3,y2 8˜12y2 `X,,y2 `№+1y2 `#(,y2 `Л'1y2 ‡ј$2y2 Fћ$2y2 `C 1y2 `,y2 `1y2 `[,y2 ‡Ц 2y2 `=,yћ€ўTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 ,E2y2 1y2 ,‹2y2 [1y2 3m ]y2 3' )y2 3ч /y2 3(y2 3…1y2 3%[y2 3}2y2 Ш1yћ€ўSymbol~@0 Щ  ~ ~ а ~0-№2 ,р2ey2 г›2ry2 _*fy2 &&fy2 єfy2 :fy2 fyћ џTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 3A4jy2 3‡3iy2 `У,jy2 `1+iy2 `Ž(jy2 `ј&iy2 `€jy2 `Цiy2 ŒЗjy2 `Цjy2 ` iy2 Œ§jy2 `Јjy2 `юiyћ€ўTimes New Roman  ~ ~ а ~0-№2 _0ry2 OХ#zy2 Т#ry‚,ƒj „Е ˆ0 –[–]2 , ry2 \ry2 ,Qry2 Ђry2 3 zy2 3 ry & џџџџћМ"System !ŠŒѓў ~-№NANIџ ПjU/ Б€Bh*@UЫлиWAјј--We define a two-d grid with indices i and j. 7-9-Bi<-Bj:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Bk</-Bl<-Bm0џџџџ@NormalArialџџџ Bn@B@Uф=ѕ'№XBo@@ pBp@@ С€BoBq@@dBpimaxBr@@ДBp20Bs@B@UpфІѕ№lBt@@ pBu@@ С€BtBv@@dBujmaxBw@@ДBu20Bx*@UШу2ѓг№Ў‰jj-@@ У€CisubsetC@@@ЄC>jCA@@Ъ€C;CB@@dCAnCC@@ЄCAqCD*@Uh! ˆ3 0 уA  -,Boundary conditions: the cylindrical walls: 7,9,CE<,CF:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ 1CG</,CH<,CI0џџџџ@NormalArialџџџ CJ@B@U< OT -H ьCK@@ pCL@@ С€CKCM@@§@CLCN@@dCMBCCO@@ У€CMCP@@dCOiCQ@@ЄCOjCR@@ДCL1001CS*@Uh; 2{ rH фЪЪ@Ъ@-AThis assigns 1001 to all grid points. We use 1001 to indicate places that are NOT boundary conditions. Next we will change the grid points at the boundary points to the correct values. Later we use an "if" statement to find which points are boundary points. 79CT<CU:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1CV</CW<CX0џџџџ@NormalArialџџџ CY@B@U„ Pœ @ {CZ@@ pC[@@ С€CZC\@@§@C[C]@@dC\BCC^@@ У€C\C_@@dC^iC`@@ЄC^jmaxCa@@ДC[0Cb*@Uhƒ )Ѓ t хСС С -@hThe outer boundary has zero potential. This loop is done for all i values but only the largest j value. 7h9hCc@@§€D3D?@@dD>Phi2D@@@ У€D>DA@@dD@iDB@@ˆЧ€D@DC@@dDBjDD@@ДDB1DE@@ћ€D2DF@@Ъ@DEDG@@ќ@DFDH@@dDG\DrDI@@ДDG2DJ@@§€DFDK@@dDJ\rDL@@ У€DJDM@@dDLiDN@@ЄDLjDO@@ЄDE\e.0DP@@Шѕ€CѓDQ@@dDPjDR@@Т€DPDS@@tDR1DT@@ˆЧ€DRDU@@dDTjmaxDV@@ДDT1DW@@Шѕ€CГDX@@dDWiDY@@Т€DWDZ@@tDY1D[@@ˆЧ€DYD\@@dD[imaxD]@@ДD[1D^@@Яў€CВD_@@Яў@D^D`@@Шѕ@D_Da@@§@D`Db@@dDaPhi2Dc@@ У€DaDd@@dDciDe@@ЄDcjDf@@Ю€D`Dg@@dDfifDh@@Žp€DfDi@@ У€DhDj@@ У@DiDk@@)Х@DjDl@@§@DkDm@@dDlBCDn@@ У€DlDo@@dDniDp@@ЄDnjDq@@ДDk1000Dr@@§€DjDs@@dDrBCDt@@ У€DrDu@@dDtiDv@@ЄDtjDw@@§€DiDx@@dDwRDy@@ У€DwDz@@dDyiD{@@ЄDyjD|@@Шѕ€D_D}@@dD|jD~@@Т€D|D@@tD~0D€@@ЄD~jmaxD@@Шѕ€D^D‚@@dDiDƒ@@Т€DD„@@tDƒ1D…@@ЄDƒimaxD†@@Шѕ€CБD‡@@dD†kDˆ@@Т€D†D‰@@tDˆ0DŠ@@ЄDˆitersD‹@@ЄC‡Phi2DŒ*@UЛ 6л Ш ќ.. . -@™In the program loop, the long formula has been displayed on two levels using shift-enter (notice the ...) which combines a line break with a plus sign. 7™9™D<™DŽ:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1D</™D<™D‘0џџџџ@NormalArialџџџ D’*@Uё :  ї222-@RThe potential profile for a short cylinder of ions within a cylindrical boundary: 7R9RD“ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЅI>'обšщРr €?ЁЅ•ˆХ€ContentsџџџџџџџџџџџџOlePres000џџџџџџџџ OlePres000џџџџџџџџџџџџўџџџ ўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ Х  і[ŠA5Œу?‡DчJWЦППO љуК@№?џџџџ333џPotential contoursd џ  №П№?4@  №П№?`b|@  №П№?4@  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџџ€?€?@џ€?€?€?@џ€?€?@ џџџџџџ€?€?€?D >ј€@ƒуC A A€?Р@Р@џџџџNANIЂи+00#C:\1„.1ќ*XQDocuments and SettingsDOCUME~1'1+ЋScott RobertsonSCOTTR~11+ЋRecentRECENTPрOа ъ:iЂи+00#C:\1„.1ќ*XQDocuments andDО@@ЄDК\FDП@B@U0@ 4Ѕ@ VDР@@ pDС@@^ё€DРDТ@@@DСDУ@@ŸС€DСDФ@@<@DУDХ DПDФDЦ< 2A ъгџџCVSOleClientItem аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЅI>'обšщРr €?ЁЅ•ˆХ@Contentsџџџџџџџџџџџџ№OlePres000џџџџџџџџ OlePres000џџџџџџџџџџџџўџџџ ўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ /Я H?U…2е?ўrШэі д??"^Єnр@yБaПSМ@№?џџџџ333џd џ  №П№?4@  №П№?`b|@  №П№?4@  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџџ€?€?@џ€?€?€?@џ€?€?@ џџџџџџ€?€?€?D# >ј€@ƒуC A A€?Р@Р@@@§€#<@@dџџџџNANIi?@@‰Ч€=@@@@d?j@A@@Д?1@B@@Д"2@C@@Шѕ€@D@@§@@C@E@@d@DQ@F@@ У€@D@G@@d@Fi@H@@Є@Fj@I@@Є@CC@J@@Шѕ€@K@@d@Jj@L@@Т€@J@M@@t@L1DЧ@@ЄDУ\FDШ*@UKгkXŒAЫ Ы -@”For the left graph, radius is the vertical axis and z is the horizontal axis. Note that the axes are labelled in grid points rather than cm or m. 7MM”DЩ@@dE=\rE?@@ У€E=E@@@dE?iEA@@ЄE?jEB@@ДE<0EC*@U`CeSjPQ-3This definition is done for all values of i and j. 7393ED<3EE:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1EF</3EG<3EH0џџџџ@NormalArialџџџ EI*@Uјc>Гp"FFPFP-AThe indices isubset and jouter define a rod of charge that is smaller than the cylindrical boundary in both the r and z directions. The rod of charge extends only half way radially to the outer boundary. The rod of charge is spaced two grid points away from the end caps. 79EJ<EK:@Wџџџџџџџџ1EL</EM<EN0џџџџ@NormalArialџџџ EO@B@Ul}}7x&EP@@ pEQ@@ С€EPER@@dEQisubsetES@@Т€EQET@@tES2EU@@ˆЧ€ESEV@@dEUimaxEW@@ДEU2EX@B@UˆcцˆАx)EY@@ pEZ@@ С€EYE[@@dEZjouterE\@@Т€EZE]@@tE\0E^@@ћ€E\E_@@dE^jmaxE`@@ДE^2Ea@B@U“zЈ^ Eb@@ pEc@@ С€EbEd@@§@EcEe@@dEd\rEf@@ У€EdEg@@dEfisubsetEh@@ЄEfjouterEi@@Ъ€EcEj@@dEinEk@@ЄEiqEl*@UhЃlГpАЛб- 79Em<En:@Wџџџџџџџџ1Eo</Ep<Eq0џџџџ@NormalArialџџџ Er@B@UЛOЭШ*Es@@ pEt@@ С€EsEu@@dEt\FEv@@Ю€EtEw@@dEvPhi2Ex@@Žp€EvEy@@ЄEx\rEz*@U`Л9ыjШ+йй0й0-@ђThis solves the problem again with the new ion charge cylinder that does not go all the way to the outer boundary. We don't have to write down the program loop again because we have made Phi2hi2 a function of the ion charge distribution r. 7ёюђE{jinner gives values for r which are inside the charge cylinder7>9>Eо<>Eп:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Eр</>Eс<>Eт0џџџџ@NormalArialџџџ Eу@B@UHыЅoеEф@@ pEх@@ С€EфEц@@dEхjinnerEч@@Т€EхEш@@tEч0Eщ@@ћ€EчEъ@@dEщjmaxEы@@ДEщ2Eь@B@Uа(1жEэ@@ pEю@@ С€EэEя@@§@EюE№@@dEя \finsideEё@@ЄEяjEђ@@‰Ч€EюEѓ@@ћ@EђEє@@Ъ@EѓEѕ@@Ъ@EєEі@@dEѕnEї@@ЄEѕqEј@@Žp€EєEљ@@ˆЧ€EјEњ@@ќ@EљEћ@@Žp@EњEќ@@§€EћE§@@dEќrEў@@ћ€EќEџ@@dEўjmaxF@@ДEў2F@@ДEњ2F@@ќ€EљF@@Žp@FF@@§€FF@@dFrF@@ЄFjF@@ДF2F@@Ъ€EѓF @@tF4F @@ЄF\e.0F @@Ю€EђF @@dF \foutsideF @@Žp€F F@@ћ€F F@@dFrmaxF@@ДF2F*@U#30зљљљ-9This plot compares the analytic and numerical solutions. 7999F<9F:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1F</9F<9F0џџџџ@NormalArialџџџ F@B@U@> @ЫF@@ pF@@С€FF@@ŸС@FF@@ŸС@FF@@ŸС@FF@@vF282.474F@@ЖF0F@@ŸС€FF @@@FF!@@€FF"@@ У€FF#@@ У@F"F$@@§@F#F%@@dF$\FF&@@ У€F$F'@@ћ@F&F(@@dF'imaxF)@@ДF'2F*@@ЄF&jF+@@§€F#F,@@dF+ \finsideF-@@ЄF+jinnerF.@@Ю€F"F/@@dF. \foutsideF0@@Žp€F.F1@@§€F0F2@@dF1rF3@@ЄF1jouterF4@@ŸС€FF5@@ŸС@F4F6@@ŸС@F5F7@@vF60.01F8@@ЖF60F9@@ŸС€F5F:@@@F9F;@@€F9F<@@ У€F4F=@@ У@F@@§@F=F?@@dF>rF@@@ЄF>jFA@@§€F=FB@@dFArFC@@ЄFAjinnerFD@@§€F0FІ@@ pFЇ@@С€FІFЈ@@ŸС@FЇFЉ@@ŸС@FЈFЊ@@ŸС@FЉFЋ@@vFЊ269.516FЌ@@ЖFЊ0F­@@ŸС€FЉFЎ@@@F­FЏ@@€F­FА@@ У€FЈFБ@@ У@FАFВ@@§@FБFГ@@dFВ\Fplot2FД@@ У€FВFЕ@@ћ@FДFЖ@@dFЕimaxFЗ@@ДFЕ2FИ@@ЄFДjFЙ@@§€FБFК@@dFЙ \finsideFЛ@@ЄFЙjinnerFМ@@Ю€FАFН@@dFМ \foutsideFО@@Žp€FМFП@@§€FОFР@@dFПrFС@@ЄFПjouterFТ@@ŸС€FЇFУ@@ŸС@FТFФ@@ŸС@FУFХ@@vFФ0.01FЦ@@ЖFФ0FЧ@@ŸС€FУFШ@@@FЧFЩ@@€FЧFЪ@@ У€FТFЫ@@ У@FЪFЬ@@§@FЫFЭ@@dFЬrFЮ@@ЄFЬjFЯ@@§€FЫFа@@dFЯrFб@@ЄFЯjinnerFв@@§€FЪFг@@dFвrFд@@ЄFвjouterFе 7 )L)LPhi(r)&&&&&&&&&& & & & & &&&Fж@B@U3rH:@Fз@@ pFи@@ŒС€FзFй@@§@FиFк@@dFй \finsideFл@@ДFй0Fм@@–Ф€FиFн@@+@Fм@XFо@@€FмFп*@U 3.cЊ@ŽŽ0Ž0-@‘The agreement between the analytic solution and the numerical solution is much better using the average value of charge density at the boundary. 7‘9‘Fр<‘Fс:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Fт</‘Fу<‘Fф0џџџџ@NormalArialџџџ Fх@B@USx@`Fц@@ pFч@@ŒС€FцFш@@§@FчFщ@@dFш\FFъ@@ У€FшFы@@ћ@FъFь@@dFыimaxFэ@@ДFы2Fю@@ДFъ0Fя@@–Ф€FчF№@@+@Fя@XFё@@€Fя