.MCAD 310000000 \  docDocument MmcObject[џџџџ!! d2_graph_format graphData% axisFormat)L)Ltrace2D&&&&&&&&& & & & & &&& dim_formatTmasslengthtimecharge temperature luminosity substanceNumericalFormatQdii  shpRectV h^mcDocumentObjectState\ mcPageModelK€?€?š™™?š™™?mcHeaderFooterI@I |P CHeaderFooterJ@Љ{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1033{\fonttbl{\f0\fswiss\fprq15\fcharset0 Arial;}{\f1\fnil\fcharset0 Arial;}} \viewkind4\uc1\pard\f0\fs18\{d\}\f1 \par \par } @Ж{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1033{\fonttbl{\f0\fswiss\fprq15\fcharset0 Arial;}{\f1\fnil\fcharset0 Arial;}} \viewkind4\uc1\pard\qc\f0\fs18 Electrostatics\f1 \par \par } @Н{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1033{\fonttbl{\f0\fswiss\fprq15\fcharset0 Arial;}{\f1\fnil\fcharset0 Arial;}} \viewkind4\uc1\pard\qr\f0\fs18 Debye Shielding \{n\}\f1 \par \par } @J@я{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fnil\fprq15 Arial;}{\f3\fswiss Arial;}{\f4\fswiss\fprq15 Arial;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;} \deflang1033\pard\plain\f4\fs18 \par } @ђ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fnil\fprq15 Arial;}{\f3\fswiss Arial;}{\f4\fswiss\fprq15 Arial;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;} \deflang1033\pard\qc\plain\f3\fs20 \par } @ђ{\rtf1\ansi\deff0\deftab720{\fonttbl{\f0\fswiss MS Sans Serif;}{\f1\froman\fcharset2 Symbol;}{\f2\fnil\fprq15 Arial;}{\f3\fswiss Arial;}{\f4\fswiss\fprq15 Arial;}} {\colortbl\red0\green0\blue0;} \deflang1033\pard\qr\plain\f4\fs18 \par } @J@J ќЉёвMbP?ќЉёвMbP? TextState? TextStyle>@ ArialSerial_ParPropDefaultWџџџџџџџџNormal>@Arial@Wџџџџџџџџ Heading 1>@ Arial@Wџџџџџџџџ Heading 2 >@ Arial@Wџџџџџџџџ Heading 3 >@ Arial@Wџџџџ Paragraph >@ Arial@WџџџџList >@ Arial@WџџџџџџџџIndent >@Times New Roman@W џџџџџџџџTitle>@Times New Roman@W џџџџџџџџSubtitle џџџџџџџџ€font_style_listO font_stylePѓџџџєџџџ џџџџ VariablesTimes New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџ ConstantsTimes New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџTextArial@Pѓџџџєџџџ џџџџGreek VariablesSymbol@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 1Arial@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 2 Courier New@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 3Arial@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 4Times New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 5Times New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 6Arial@Pѓџџџєџџџ џџџџUser 7Times New Roman@Pѓџџџєџџџ џџџџSymbolsSymbol@Pѓџџџѓџџџ џџџџCurrent Selection FontArial@Pѓџџџѓџџџ џџџџUndefined Font@Pѓџџџѓџџџ џџџџHeaderArial@Pѓџџџѓџџџ џџџџFooterArial@Pѓџџџєџџџ џџџџRotated Math FontTimes New Roman. TextRegion* docRegionGshpBoxUr `bb CharacterMap-RangeMap;'Poisson's equation and Debye shielding  ChrPropMap7' ParPropMap9' RangeElem<' ParPropData: RangeData=@WџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџEmbedMap1<LinkMap/'<'LinkData0џџџџ@NormalArialџџџ *@U+`л8XXАXА-D.Debye shielding requires that we solve Poisson's equation and the Boltzmann relation. We will do this in one dimension. The values of the potential F will be assigned on grid points equally spaced in x. For example, Fn is the value of F(x) at the location xn, the nth grid point. The first equation below is Poisson's equation written in the usual way. The second equation is the definition of the x derivative of Fn, using values from the grid. The third equation defines the second derivative of Fn. This is the d/dx operation done on dFn/dx, symmetrically about n. In the last equation, we have combined Eqs. 1 and 3 and have solved for Fn. We use the present values of Fn+1 and Fn-1 to calculate the second guess for Fn. The left side of the equation is the new guess based on the old guess which is on the right side. We will do this over and over again and keep getting better guesses. It is time to quit when the new guess is no longer much different from the old guess. n0 is the zero order density, q is the charge, and T is the temperature in energy units. 7+”.<” ChrPropData8<8@ Symbol<?8Symbol<@@<@A8_>@B<@C8@ Arial@@@D<@E8Symbol@B@F<@G8_@D@H<@I8@ Arial@F@J<@K8Symbol@H@L<@M8_@J@N<@O8@ Arial@L@P<"@Q8@ Arial@N@R<@S8@ Symbol@P@T<@U8_@R@V<@W8@ Arial@T@X<@Y8@ Arial@V@Zўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF@rž8‘Ф@Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ;CompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџ&ўџџџ  !"#$%-'()*+,ўџџџ./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџtry\Machine\Software\CjСБd1 †"ƒd ˆ2 ƒdƒx ˆ2 …І‚(ƒx‚)†=ƒn ƒi ‚(ƒx‚)†"ƒn ƒe ‚(ƒx‚)–(–)ƒq‚/„Е ˆ0 ƒd…Іƒdƒx†=ˆ1…”ƒx…І ƒn†+ˆ1 †"…І ƒn –[–]ƒd ˆ2 …Іƒdƒx ˆ2ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9Вq4959}џџџџџџџџК"0Ю  ч џџџ.  €€&џџџџРџџџЉџџџ@) & MathType№њ-@`@ОћўуSymbolw@§ Ž[дєwdдєw0-2 ž‘(yћўуSymbolw@н y[дєwdдєw0-№2 žЪ)yQ@QZQ Qаћѓ§уOlePres000џџџџ Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџSymbolw@§ [дєwdдєw0-№2 А[yћѓ§уSymbolw@н z[дєwdдєw0-№2 А™ ]yŒ @Œ (Œ иŒ `ћѓ§уSymbolw@§ [дєwdдєw0-№2 ы ’[yћѓ§уSymbolw@н {[дєwdдєw0-№2 ы ']yЪВћѓ§уSymbolw@§ ‘[дєwdдєw0-№2 ќф[yћѓ§уSymbolw@н |[дєwdдєw0-№2 ќY ]y% ћўуSymbolw@§ ’[дєwdдєw0-№2 ћH(yћўуSymbolw@н }[дєwdдєw0-№2 ћj)yћѓ§уSymbolw@§ “[дєwdдєw0-№2 ќ†[yћѓ§уSymbolw@н ~[дєwdдєw0-№2 ќ ]yћ џTimes New Roman[дєwdдєw0-№2 ]з0y2 5щ2y2 ]П 1y2 ]‡1y2 L 1y2 L 5 1y2 s Ћ2y2 s .2y2 N _2y2 Ѕ1y2 Ѓ0y2 ' 2y2 Ф2yћ€ўTimes New Roman[дєwdдєw0-№2 §j/y2 §‚)y2 §‚(y2 §2)y2 §2(y2 )?2y2 91y †=ˆ1…”ƒx ˆ2 …І ƒn†+ˆ1 †"ˆ2…І ƒn †+…І ƒn†"ˆ1 –[–]…І ƒn †=ˆ1ˆ2…І ƒn†+ˆ1 †+…І ƒn†"ˆ1 –[–]†+ˆ1ˆ2…”ƒx–(–) ˆ2 ƒn ƒi ‚(ƒx ƒn ‚)†"ƒn ƒe ‚(ƒx ƒn ‚)–[–]ƒq‚/„Е ˆ02 )ф2y2 о1y2 ь 3 2y2 њ М1y2 П1y2  6/y2  :)y2  ъ(y2  š )y2  J (y2  |)y2  ,(yћ€ўSymbolw@§ •[дєwdдєw0-№2 §ey2  вeyћ€ўTimes New Roman[дєwdдєw0-№2 §hqy2 §xy2 §ny2 §Юxy2 §ёny2 §Њxy2  мxy2  Ÿdx2 њ Zdx2 нxx2 н™dx2 ПZdx2  4qx2  †xx2  † nx2  ц xx2   nx2  Шxx2 гzdx2 ЎПdxћ џTimes New Roman[дєwdдєw0-№2 ]зnx2 ]хex2 ]‡nx2 ]Еix2 ]в nx2 ]–nx2 ]nx2 L  nx2 L @nx2 L D nx2 ъ nx2 Дnx2 Mex2 Э ixћ€ўSymbolw@н [дєwdдєw0-№2 §ў-x2 §РDx2 §љ +x2 §… Fx2 §e+x2 §IFx2 §Œ=x2 §4Fx2 ь SFx2 ь 3+x2 ь ѓ Fx2 ь  -x2 ь їFx2  ђDx2 ь š=x2 њ шFx2 Б Fx2 Бƒ -x2 БgFx2 н$Dx2 БЬ=x2 ПFx2  f -x2  `=x2  њFx2  :-xћ џSymbolw@§ —[дєwdдєw0-№2 ]P -x2 ]+x2 L -x2 L Т +x2 2+x & џџџџћМ"System 0-№NANI@d@U€5G€ аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFА™TлˆХ€Ole џџџџџџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџiCompObjџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџуCapture {02835AE8-A2СMј,Ф? Boltzmann relations:ƒn ƒe ‚(ƒx‚)†=ƒn ˆ0 ‚e‚x‚p‚[†"ƒq ƒe …І‚(ƒx‚)‚/ƒT‚]ƒn ƒi ‚(ƒx‚)†=ƒn ˆ0 ‚e‚x‚p‚[†"ƒq ƒi …І‚(ƒx‚)‚/ƒT‚]0-C000-0000ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqSelection 88 џџџџџџџџНMю w џџџ.   &џџџџРџџџЦџџџРf & MathType€ћ€ўTimes New Roman}Јєw†Јєw0-2 щ]y2 щt/y2 щК )y2 щj (y 2 щexp[2 щЫ)x2 щ{(x2  X]x2  К/x2  )x2  А (x 2  Ђexp[2  юOlePres000џџџџџџџџџџџџ 0Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ)x2  ž(x2 `‚ :x 2 ` relations 2 `: Boltzmann ћ џTimes New Roman}Јєw†Јєw0-№2 IЎ0x2 б0xћ€ўTimes New Roman}Јєw†Јєw0-№2 щ Tx2 щ xx2 щ qx2 щчnx2 щxx2 щ:nx2  PTx2  L xx2  2 qx2   nx2  :xx2  :nxћ џTimes New Roman}Јєw†Јєw0-№2 Iй ix2 Iўix2 џ ex2 exћ€ўSymbolw@х 5}Јєw†Јєw0-№2 щ8 Fx2 щ1 -x2 щЏ=x2  ~ Fx2  T -x2  в=x & џџџџћМ"System 0-№NANI@e*@UЉЛИНPћћ- Equations in dimensionless units7 9 @f< @g:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1@h</ @i< @j0џџџџ@NormalArialџџџ @k*@UУI аОHA@A@-A„In the second line below we have multiplied or divided all the terms in Poisson's equation by constant values so that the last two bracketed terms are dimensionless. We then recognize that the first bracketed term is the Debye length squared and that this can be used to make the x derivatives dimensionless as well. The last three lines show the dimensionless versions of the variables. 7„9„@l<„@m:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1@n</„@o<„@p0џџџџ@NormalArialџџџ @q@Uњ аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF0X.Q{ФOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ™CompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ & !"#$%F'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEGўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџtry\Machine\Software\C+С}PЎlБ †"ƒd ˆ2 ƒdƒx ˆ2 …І‚(ƒx‚)†=ƒn ƒi ‚(ƒx‚)†"ƒn ƒe ‚(ƒx‚)–(–)ƒq‚/„Е ˆ0 †"„Е ˆ0 ƒTўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqІƒdƒx ˆ2ƒn, ˆ0 ƒq ˆ2 –(–)ƒd ˆ2 ƒdƒx ˆ2 ƒq…І‚(ƒx‚)џџџџџџџџ?2  ™ џџџ.  Р &џџџџРџџџЄџџџ`d & MathType€њ-AdAБћ ўцSymbolw@  o[дєwdдєw0-2 ž•(yћ ўцSymbolw@И [дєwdдєw0-№2 žй)y››››j›n ›r OlePres000џџџџ t Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ›…›Х›H›­L @L ЉhуLњ -T[-cўСўСўЎ ЦЛЦЮ Цw Цсћ џTimes New Roman[дєwdдєw0-№2 c(0y2 № 2y2 ќ›0y2 ќ0y2 * ќ2y2  Ј2y2 …0y2 …H0y2 yН2y2 `w2y2 yr2y2 … 0y2 j?0y2 Ќ0y2 2y2 О2yћ€ўTimes New Roman[дєwdдєw0-№2 З/y2 tG~y2 œD/y2 —I~y2 ї+/y2 e~y2 Ќ !)y2  C~y2 Ќ Є (y2  Z ~y2 Ќ ] )y2   ~y2 Ќ р(y2  Л~y2 Ќ ˜)y2  К~y2 Ќ (y2 Ы ƒT–(–)†=ƒn ƒi ‚(ƒx‚)ƒn, ˆ0 †"ƒn ƒe ‚(ƒx‚)ƒn, ˆ0 –(–)ƒd ˆ2 ƒd2ƒx ˆ2 "…І‚(2ƒx‚)†=2ƒn ƒi ‚(2ƒx‚)†"2ƒn ƒe ‚(2ƒx‚)"…І†=ƒq…І‚/ƒT2ƒx†=ƒx „Е ˆ0 ƒT‚/ƒn, ˆ0 ƒq ˆ2 †=ƒx„Л ƒDƒeƒbƒyƒe 2ƒn†=ƒn~y2 G ~y2 )y2 Й(y2 2)y2 б(y2 п )y2 ~ (y2 ЁI/y2 ЁH)y2 Ёч(y2 Ё  )y2 Ё? (y2 Ё„)y2 Ё#(yћ€ўTimes New Roman[дєwdдєw0-№2 cny2 Аny2 7ny2 7п xy2 œ*qy2 œТny2 œџTy2 7їxy2 &Nxy2 їШTy2 їћqy2 Ќ Hxy2 Ќ J ny2 Ќ „ xy2 Ќ Ћny2 Ќ Пxy2 ж xy2 ж Wdy2 Н Ћdy2 %Dny2 ]xy2 _ny2 %ony2 uxy2 œny2 %ш Ty2 " xy2 Š qy2 %4dx2 zdx2 %›qx2 %3nx2 БTx2 ЁGqx2 Ё‹xx2 Ё nx2 Ёу xx2 Ё nx2 ЁЧxx2 Ы{dx2 ВСdxћ џTimes New Roman[дєwdдєw0-№ 2 Аe Debye2  ee2 mie2 j'ee2 j^ie2 Uee2 Ь ieћ€ўSymbolw@  r[дєwdдєw0-№2 ~=e2 &< =e2 &€=e2 їЛFe2 їФ=e2 ї2Fe2 Ќ + -e2 Ќ y=e2 Ќ чFe2 ‘йїe2 №йїe2 Šйјe2 їйіe2 ‘Пчe2 №Пчe2 ŠПшe2 їПцe2 ћ -e2 ћ’=e2 (ž їe2 Rž јe2 /ž іe2 (Јчe2 RЈшe2 /Јцe2 J Fe2 ‘Kїe2 №Kїe2 ŠKјe2 їKіe2 ‘Vчe2 №Vчe2 ŠVшe2 їVцe2 ћ<-e2 Ёn -e2 Ёe=e2 ЁяFe2 Ё<-eћ€ўSymbolw@И [дєwdдєw0-№2 PŽ le2 œУee2 uee2 Ётee & џџџџћ М"System ‚/ƒn ˆ00-№NANI@r*@U 7+ // / -@iIn the pages below, we are using the dimensionless variables without the tildes on top, for convenience. 7O=i@s<=@t8@r@u<@v8@rmArial@s@w<@x8@r@u@w@u9i@yўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџaЏŸB.вПdK8ЂЃА™TлˆХ@Contentsџџџџџџџџџџџџ(џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ ŒЮ  di ixєџџџArialxР pР іџџџArialLутLут€ттUјw%јwџџџџ<TŒЩ1cаІ $Яб}{\s8\f1\fs36 \qc \sbasedon0 Subtitle;}}\plain\fs20 \pard\plain \s0\f0\fs20 \pard column is first subscript, row is second subscript} @Э@@Д@ЩradSerial_DisplayNodeX@Ю@@€@Ц@Я*@U[0Ћhиh(P(P-@ЂWe can change the number of points on the grid by increasing imax above. The values for the potential will be saved in a matrix Phi defined in a PROGRAM LOOP. 7Ђ9Ђ@а<Ђ@б:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1@в</Ђ@г<Ђ@д0џџџџ@NormalArialџџџ @е*@Uу ѓ№пh-/The electron an ion densities will be given by 7/9/@ж@@dA=iA?@@ДA=1A@@@ˆЧ€Aўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџaЏŸB.вПdK8ЂЃP VлˆХ@Contentsџџџџџџџџџџџџ(џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ €7№  /di ixєџџџArialxР pР іџџџArialLутLут€ттUјw%јwџџџџ<TŒЩ1cаІ $Яб,, ќџ Ђ@$м5‡z€џ@џџalфpo+МTimes New RomanTimes New Roman BoAЗ@@ДAГrad@XAИ@@€AА2J0`AЙ*@U M3$ P- - -@ФIf you scroll up and down the matrix you will see that the answers are all the same after about 30 iterations. At the top, you will see that the changes propagate toward the middle from the ends. 7Ф9ФAК<ФAЛ:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1AМ</ФAН<ФAО0џџџџ@NormalArialџџџ AП@B@U HŠv HAР@@ pAС@@С€AРAТ@@ŸС@AСAУ@@ŸС@AТAФ@@ŸС@AУAХ@@vAФ1AЦ@@•K‚AФAЧ@@ДAЦ1AШ@@ŸС€AУAЩ@@@AШAЪ@@€AШAЫ@@ У€AТAЬ@@ У@AЫAЭ@@ У@AЬAЮ@@ У@AЭAЯ@@§@AЮAа@@dAЯPhiAб@@ У€AЯAв@@tAб1Aг@@ЄAбiAд@@§€AЮAе@@dAдPhiAж@@ У€AдAз@@tAж5Aи@@ЄAжiAй@@§€AЭAк@@dAйPhiAл@@ У€AйAм@@tAл10Aн@@ЄAлiAо@@§€AЬAп@@dAоPhiAр@@ У€AоAс@@tAр20Aт@@ЄAрiAу@@§€AЫAф@@dAуPhiAх@@ У€AуAц@@tAх40Aч@@ЄAхiAш@@ŸС€AСAщ@@ŸС@AшAъ@@ŸС@AщAы@@vAъ10Aь@@ЖAъ0Aэ@@ŸС€AщAю@@@AэAя@@€AэA№@@ЄAшiAё # )L)LPotential at grid points&&&&&&&&&& & & & & &&&Aђ*@UЈcM“БpѕЅЅ0Ѕ0-@KThe 40th interation is the black line. The first iteration is the red line.7K9KAѓ@@ДB<0B?@@Яў€B;B@@@Шѕ@B?BA@@§@B@BB@@dBAQBC@@ У€BABD@@dBCiBE@@ЄBCjBF@@§€B@BG@@dBF PhiGuess2BH@@ЄBFjBI@@Шѕ€B?BJ@@dBIjBK@@Т€BIBL@@tBK0BM@@ЄBKimaxBN@@Яў€B:BO@@Яў@BNBP@@Чђ@BOBQ@@Чђ@BPBR@@Чђ@BQBS@@Шѕ@BRBT@@dBSCBU@@‰Ч€BSBV@@ћ@BUBW@@‰Ч@BVBX@@§@BWBY@@dBXQBZ@@ У€BXB[@@ˆЧ@BZB\@@dB[iB]@@ДB[1B^@@‰Ч€BZB_@@dB^jB`@@ДB^1Ba@@§€BWBb@@dBaQBc@@ У€BaBd@@ˆЧ@BcBe@@dBdiBf@@ДBd1Bg@@ˆЧ€BcBh@@dBgjBi@@ДBg1Bj@@ДBV2Bk@@Ъ€BUBl@@Ъ@BkBm@@ћ@BlBn@@tBm1Bo@@ДBm2Bp@@ќ€BlBq@@dBp\DxBr@@ДBp2Bs@@Žp€BkBt@@ˆЧ€BsBu@@Ю@BtBv@@dBuniBw@@Žp€BuBx@@§€BwBy@@dBxQBz@@ У€BxB{@@ˆЧ@BzB|@@dB{iB}@@ДB{1B~@@ЄBzjB@@Ю€BtB€@@dBneB@@Žp€BB‚@@§€BBƒ@@dB‚QB„@@ У€B‚B…@@ˆЧ@B„B†@@dB…iB‡@@ДB…1Bˆ@@ЄB„jB‰@@Шѕ€BRBŠ@@§@B‰B‹@@dBŠQBŒ@@ У€BŠB@@dBŒiBŽ@@ЄBŒjB@@ЄB‰CB@@Шѕ€BQB‘@@§@BB’@@dB‘QB“@@ У€B‘B”@@dB“iB•@@ДB“0B–@@§€BB—@@dB–QB˜@@ У€B–B™@@ˆЧ@B˜Bš@@dB™iB›@@ДB™1Bœ@@ДB˜0B@@Шѕ€BPBž@@§@BBŸ@@dBžQB @@ У€BžBЁ@@dB iBЂ@@ДB 10BЃ@@§€BBЄ@@dBЃQBЅ@@ У€BЃBІ@@ˆЧ@BЅBЇ@@dBІiBЈ@@ДBІ1BЉ@@ЄBЅimaxBЊ@@Шѕ€BOBЋ@@dBЊjBЌ@@Т€BЊB­@@tBЌ1BЎ@@ˆЧ€BЌBЏ@@dBЎimaxBА@@ДBЎ1BБ@@Шѕ€BNBВ@@dBБiBГ@@Т€BБBД@@tBГ1BЕ@@ДBГ40BЖ@@ЄB9QBЗ*@U№у c §№ !€s s -$Note that the averaging is left out.7$9$BИ<$BЙ:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1BК</$BЛ<$BМ0џџџџ@NormalArialџџџ BН*@U(s +Ѓ 4€ • 00-@№Note that iteration 39 and 40 are oscillating wildly about the right answer. Iteration 10 was actually better! If I had done 55 iterations, the program would have failed because the amplitude of the oscillations would have grown too large. 7№9№BО<№BП:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1BР</№BС<№BТ0џџџџ@NormalArialџџџ BУ@B@U0А о 0А –BФ@@ pBХ@@С€BФBЦ@@ŸС@BХBЧ@@ŸС@BЦBШ@@ŸС@BЧBЩ@@vBШ1.048BЪ@@•K‚BШBЫ@@ДBЪ1.048BЬ@@ŸС€BЧBЭ@@@BЬBЮ@@€BЬBЯ@@ У€BЦBа@@ У@BЯBб@@ У@BаBв@@ У@BбBг@@§@BвBд@@dBгPhiBе@@ У€BгBж@@tBе1Bз@@ЄBеiBи@@§€BвBй@@dBиPhiBк@@ У€BиBл@@tBк5Bм@@ЄBкiBн@@§€BбBо@@dBнPhiBп@@ У€BнBр@@tBп10Bс@@ЄBпiBт@@§€BаBу@@dBтPhiBф@@ У€BтBх@@tBф39Bц@@ЄBфiBч@@§€BЯBш@@dBчPhiBщ@@ У€BчBъ@@tBщ40Bы@@ЄBщiBь@@ŸС€BХBэ@@ŸС@BьBю@@ŸС@BэBя@@vBю10B№@@ЖBю0Bё@@ŸС€BэBђ@@@BёBѓ@@€BёBє@@ЄBьiBѕ # )L)L&Potential at grid points, no averaging&&&&&&&&& & & & & &&&