.MCAD 310000000 \  docDocument MmcObject[џџџџl l 0d2_graph_format graphData% axisFormat)L)Ltrace2D&&&&&&&&& & & & & &&& dim_formatTmasslengthtimecurrent temperature luminosity substanceNumericalFormatQdii  shpRectVmcDocumentObjectState\№Д mcPageModelKš™™?š™™?š™™?š™™?mcHeaderFooterI@I CHeaderFooterJ@|{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1033{\fonttbl{\f0\fnil\fprq15\fcharset0 Arial;}} \viewkind4\uc1\pard\f0\fs18\{d\}\par }@‰{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1033{\fonttbl{\f0\fnil\fprq15\fcharset0 Arial;}} \viewkind4\uc1\pard\qc\f0\fs18 Electrostatics\par }@Ÿ{\rtf1\ansi\ansicpg1252\deff0\deflang1033{\fonttbl{\f0\fnil\fprq15\fcharset0 Arial;}} \viewkind4\uc1\pard\qr\f0\fs18 Laplace solver with dielectric \{n\}\par }@J@J@J ќЉёвMbP?ќЉёвMbP? TextState? TextStyle>@ ArialSerial_ParPropDefaultWџџџџџџџџџџџџNormal>@Arial@Wџџџџџџџџџџџџ Heading 1>@ Arial@Wџџџџџџџџџџџџ Heading 2 >@ Arial@Wџџџџџџџџџџџџ Heading 3 >@ Arial@Wџџџџ Paragraph >@ Arial@WџџџџList >@ Arial@WџџџџџџџџџџџџIndent >@Times New Roman@WџџџџџџџџџџџџTitle>@Times New Roman@WџџџџџџџџџџџџSubtitle џџџџџџџџ€font_style_listO font_stylePѓџџџєџџџ  VariablesTimes New Roman@Pѓџџџєџџџ  ConstantsTimes New Roman@Pѓџџџєџџџ TextArial@Pѓџџџєџџџ Greek VariablesSymbol@Pѓџџџєџџџ User 1Arial@Pѓџџџєџџџ User 2 Courier New@Pѓџџџєџџџ User 3Arial@Pѓџџџєџџџ User 4Times New Roman@Pѓџџџєџџџ User 5Times New Roman@Pѓџџџєџџџ User 6Arial@Pѓџџџєџџџ User 7Times New Roman@Pѓџџџєџџџ SymbolsSymbol@Pѓџџџѓџџџ Current Selection FontArial@Pѓџџџѓџџџ Undefined Font@Pѓџџџѓџџџ HeaderArial@Pѓџџџѓџџџ FooterArial@Pюџџџ№џџџRotated Math FontTimes New RomanЧ TextRegion* docRegionGshpBoxUOіdocRegionAttributeH@H"GGG CharacterMap-RangeMap;%Laplace's Equation with a Dielectric  ChrPropMap7% ParPropMap9% RangeElem<% ParPropData: RangeData=@WџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџEmbedMap1<LinkMap/%<%LinkData0џџџџ@NormalArialџџџ MetafileRegion PictureRegionF@UP(BP(т@H@H"№и mc_metafile mcad_metafileЮSШ dŽ  Jс.ћМ"SystemсъsJа0Аy# с-ћœџ@Times New Roman-  2 [мG --B( џџџ""€-њџџџ-Ž$E}JyJuKrLnMkOhQeScU`X^[\^ZaYeXhXlXpXеXйXмYрZу\ч^ъ`эcяeђhєkіnїrљuњyњ}њњњњљ"ї%і(є+ђ.я0э2ъ4ч6у7р8м8й9е9p8l8h7e6a4^2[0X.U+S(Q%O"MLKJJ}Jњ-ќџџџ-№њ-ќ-Ž%E}JyJuKrLnMkOhQeScU`X^[\^ZaYeXhXlXpXеXйXмYрZу\ч^ъ`эcяeђhєkіnїrљuњyњ}њњњњљ"ї%і(є+ђ.я0э2ъ4ч6у7р8м8й9е9p8l8h7e6a4^2[0X.U+S(Q%O"MLKJJ}J--№'џџњ--%wJwњ--№'џџњ--%Jњ--№'џџњ-ќ-‚8*žћŸќŸў ўЁџЃўЄўІќЇћЇІІЅЄЂЁŸžžžћŠ§ŠŠŒ Ž ‘•™ž ЃЅЈ­Б Д ЗКЛ§МћМјМѕЛёКэЗщДцБуЌтЈтЅтЃт тžф™ц•щ‘эŽёŒіŠјŠћŠћŠ--№'џџњ--‚8*wІ–І”І“Ѕ’Є‘Ђ’Ё“Ÿ”ž–žwžxžzŸz {ЂzЃzЅxІwІwІ–Л“Л‘ЛŒЙˆЗ„ДАЌ}Ї}Ѕ}Ђ} }~™”„‘ˆŽŒ‹Š“‰–‰˜‰›ŠŸ‹ЄŽЇ‘Њ”­™ЎЎ ЏЂЎЅЎЇ­ЌЊАЇДЄЗŸЙ›Л˜Л–Л–Л--№'џџАГ йћ‹џ@"Arial-2 xьй ГА+VDN 2 x~й ГА ?'џџА )-  2 x<) А-' 2 xc) АVN 2 xБ) А ?'џџ-*@U;=ћ H‘@H@H"55Р5Р-BLIf a dielectric slab is placed between the plates of a capacitor the electric field is different from what it would be without the slab. We will assume that the thickness of the slab is less than the distance between the plates. The relaxation method introduced in the Laplace's Equation exercise will be used to find the distribution of the potential using a one-dimensional approximation, which is accurate if the plate separation is much smaller than the transverse dimensions. The exercise will then be extended to two dimensions with the infinite slab replaced by a dielectric rod. 7 L<  ChrPropData8 <!8}"<-#8 " 9L$@H?@H"@@@H@A@H"@B@H@C@H"@D@H@E@H"@F@H@G@H"аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF`с fБ3ЧOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџACompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџј +Т%8$ЌO "†" †Х"2ƒD †=ˆ0ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqџџџџџџџџzWr 9 џџџ.   р&џџџџРџџџЈџџџ Ш & MathType0ћ€ўOlePres000џџџџДOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw# fЮ-2 Ри0yћ€ўSymbolm А@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw# fЮ-№2 РІ=y2 Р~зy2 Р.бyћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw# fЮ-№2 Р&Dyћ€ўMT Extra Б@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw# fЮ-№2 v}ry2 vmry & џџџџћМ"SystemЮ# fЮ !Š\ѓ-№NANI@H@U`p”‡`pЭ @I@H@J@H"@K@H@L@H"@M@H@N@H"@O@H@P@H"@Q@H@R@H"@S@H@T@H"аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF`с fБ3ЧРOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ=CompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ@6+Т!№пD 2ƒD †=„Е2ƒE ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9Вqџџџџџџџџ_Wb 1 џџџ.   р&џџџџРџџџЈџџџ Ш & MathType0ћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwm fИ-2 Р”EyOlePres000џџџџЄOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ2 РFDyћ€ўMT Extra ы@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwm fИ-№2 vмry2 vryћ€ўSymbol L@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwm fИ-№2 Рьeyћ€ўSymbol ь@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwm fИ-№2 РЦ=y & џџџџћМ"SystemИm fИ !Š\ѓ-№NANIџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ@U*@Uk@‹xЪ@V@H@W@H"88 8 -@kWhen the dielectric constant e is a scalar quantity, the displacement is related to the electric field by: 76k@X<@Y8@U@Z<@[8@U` Symbol@X@\<@]8@U@Z@^<@_8@UArial@\@`<5@a8@U@^@`@Z9k@bўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFP+ fБ3ЧРOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџACompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ`ф+Т%Ш№\‡ 2ƒE †=†""†" …Іўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqџџџџџџџџуW*  џџџ.   @&џџџџРџџџЈџџџШ & MathType0ћ€ўOlePres000џџџџlOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџSymbolr (@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw fѓ-2 РЦFy2 РВбy2 Рр-y2 РЈ=yћ€ўMT Extra P@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw fѓ-№2 vёry2 vŽryћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw fѓ-№2 РFEy & џџџџћМ"Systemѓ fѓ !Š\ѓ-№NANIџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ@t*@UЃ+ГАв@u@H@v@H"B##-6The electric field E is related to the potential F by:7216@w<1@x8@t@y<@z8@t` Symbol@w@{<@|8@t@y@{@y96@}<6@~:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1@</6@€<6@0џџџџ@NormalArialџџџ @‚*@Uбу рф@ƒ@H@„@H"B-#Laplace's equation in one dimension7#9#@…<#@†:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1@‡</#@ˆ<#@‰0џџџџ@NormalArialџџџ @Š*@UѓћKй@‹@H@Œ@H"ѓѓXѓX-AoThe relaxation method will find F given the boundary conditions +V and -V. We will derive the mathematical relations to put into a program loop. In one dimension, the gradient and divergence are simply derivatives with respect to x. Let xj be the jth grid point and Fj and ej are abbreviations for F(xj) and e(xj). The equation for D in finite difference form is:7? o@< @Ž8@Š@<@8@Š` Symbol@@‘<)@’8@Š@@“<@”8@ŠArial@‘@•<@–8@Š@“@—<8@˜8@ŠArial@•@™< @š8@Š}Arial@—@›<@œ8@ŠArial@™@<`@ž8@Š@›@Ÿ<@ 8@Š_@@Ё< @Ђ8@Š@Ÿ@Ѓ<@Є8@Š_@Ё@Ѕ<@І8@Š@Ѓ@Ї<@Ј8@Š` Symbol@Ѕ@Љ<@Њ8@Š_@Ї@Ћ<@Ќ8@Š@Љ@­<@Ў8@Š` Symbol@Ћ@Џ<@А8@Š_@­@Б<@В8@Š@Џ@Г<@Д8@Š` Symbol@Б@Е<@Ж8@Š@Г@З<@И8@Š_@Е@Й<@К8@Š@З@Л<@М8@Š` Symbol@Й@Н<@О8@Š@Л@П<@Р8@Š_@Н@С<@Т8@Š@П@У<@Ф8@ŠArial@С@Х<@Ц8@Š@У@Ч<0@Ш8@ŠArial@Х@Ч@9??0o@Щўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF ГЖЫh4ЧOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ^CompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџИнСB ZЌO ƒD ƒj †=„Е ƒj ƒE ƒjўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9Вqџџџџџџџџqžr 9 џџџ.  `Р&џџџџРџџџІџџџ€ & MathTypepћ џOlePres000џџџџДOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw/ f4-2 р-jy2 р“jy2 р‰jyћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw/ f4-№2 €Ey2 €FDyћ€ўSymbol‹ Ђ@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw/ f4-№2 €eyћ€ўSymbol; Ј@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw/ f4-№2 €j=y & џџџџћМ"System4/ f4 !Š\ѓ-№NANI@у*@U‡љ›˜ѕ@ф@H@х@H"Bёё-@\If Dx is the spacing between grid points, the derivative of D evaluated at the jth point is:7R\@ц<@ч8@у@ш<@щ8@у` Symbol@ц@ъўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF ГЖЫh4Ч Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџtCompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ ўџџџ !"#$%&'ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџPWнСXа,[ ƒdƒDƒdƒx–[–] ƒj †=ƒD ƒj†+ˆ1‚/ˆ2 †"ƒD ƒj†"ˆ1‚/ˆ2 …”ƒx†=ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqEquation\EQNEџџџџџџџџƒ(^ Џ џџџ.   Р$&OlePres000џџџџ Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџРџџџГџџџ€$S & MathTypeњ-@т@ъ@@э@@cћ§уSymboll p№ИЄѓwСЄѓw 0ѕw; fЏ-2 ™[yћ§уSymbol‹ Іp№ИЄѓwСЄѓw 0ѕw; fЏ-№2 ъ!]yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw; fЏ-№2  Щ#0y2 Ў 1yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw; fЏ-№2 >!2y2 в /y2 N 1y2 Ы2y2 _/y2 л1y2 2y2 Ћ/y2 '1y2  2y2 4/y2 А1y2 г82y2 гЬ /y2 гH 1y2 г' 2y2 гЛ/y2 г71yћ€ўSymboll @ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw; fЏ-№2  —"=y2  -y2 ЬЗDy2  _=y2 ЬБ Dy2 s -y2  Щ=y2 :њy2 њћy2 Ъљy2 :@ъy2 њ@ˆ1…”ƒx„Е ƒj†+ˆ1‚/ˆ2 ƒE ƒj†+ˆ1‚/ˆ2 †"„Е ƒj†"ˆ1‚/ˆ2 ƒE ƒj†"ˆ1‚/ˆ2 –[–]†=ˆ0ыy2 Ъ@щyћ џSymbol‹ Ј@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw; fЏ-№2 п-y2 l-y2 Д+y2 =+y2 гй -y2 гФ+yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw; fЏ-№2 ‹jy2 jy2 `jy2 щjy2 г… jy2 гpjy2 *шjyћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw; fЏ-№2  fEy2  ;Ey2 ЬЁxy2 Ь› xy2 sB Dy2 s-Dy2 Ь2dx2 ЎќdDћ€ўSymboll @ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw; fЏ-№2  eD2  хeD & џџџџћМ"SystemЏ; fЏ !Š\ѓ-№NANIA@Uјјю A@HA@H"A@HA@H"A@HA@H"A @HA @H"A @HA @H"A @HA@H"аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF $ЙЫh4ЧOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ|CompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџа“#нС`јqм ƒx ƒj†+ˆ1‚/ˆ2 †=ƒx ƒj †+ ˆ1ˆ2 …”ƒxўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9Вqџџџџџџџџй žV Ћ џџџ.  `Р &џџџџРџџџЏџџџ€  & MathTypepњOlePres000џџџџ˜Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ-   Џћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwl f -2 €л xy2 €6xy2 €Lxyћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwl f -№2 рjy2 р.jyћ€ўSymbol‰ @ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwl f -№2 €ёDy2 €с+y2 €ь=yћ џSymbol‹ Ў@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwl f -№2 р‚+yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwl f -№2 я*2y2 ќ&1y2 рх2y2 рy/y2 рѕ1y & џџџџћМ"System l f !Š\ѓ-№NANIA*@Uѓn'щA@HA@H"Bf4f4-@“Above we have introduced a "half grid" defined by the relation: The derivative is centered at the point xj and is thus accurate to second order. 7’A)“A@HA?@H"A@@HAA@H"AB@HAC@H"AD@HAE@H"аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFnЛЫh4Ч@ Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ4CompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ ўџџџ( !"#$%&'ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџPWнСш s ˆ1…”ƒx–(–) ˆ2 „Е ƒj†+ˆ1‚/ˆ2 …І ƒj†+ˆ1 †"…І ƒj –(–)†"ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqEquation\EQNEџџџџџџџџјЏж ы џџџ.  @&OlePres000џџџџOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџРџџџИџџџРј & MathType№ћўуSymbolЏ аяИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-2 ­S(yћўуSymbol‹ ВаяИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 ­u)yњ-@ЉћІ§уSymbolЏ аяИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 ZŽ(yћІ§уSymbol‹ ГаяИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 Z()yћІ§уSymbolЏ аяИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 Z4(yћІ§уSymbol‹ ДаяИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 ZЪ)yћ§уSymbolЏ p№ИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 ]п[yћ§уSymbol‹ Еp№ИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 ]&]yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 `0y2 n”1yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 Р(1y2 РŒ2y2 Р /y2 Рœ„Е ƒj†"ˆ1‚/ˆ2 …І ƒj †"…І ƒj†"ˆ1 –(–)–[–]†=ˆ0/ˆ2 ƒ"System(‰ f( !Š\ѓ-№1y2 Р- 1y2 Рц2y2 Рz/y2 Рі1y2 чє2yћ€ўSymbolЏ @ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 `г=y2 `яFy2 `е-y2 `–Fy2 `Ч-y2 `% Fy2 ` -y2 `№Fy2 ЏЫDyћ џSymbol‹ З@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 РЙ-y2 Р--y2 РК +y2 Рƒ+yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 Рejy2 Р jy2 Рйjy2 Р› jy2 Рf jy2 Р/jyћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 ЏЕxyћ€ўSymbolЏ @ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw‰ f(-№2 `еey2 `+ey & џџџџћМNANIќ e: KЛЎфUž=ЌђъА А MEOWЂРF8РF€ x ЬЬЬЬ x АHёъшёъЋРFЅРFІРFЊРFЙРFX ``ЬЬЬЬHЮРFЄѕъXРFЬЬЬЬ€Žђ``MEOWРРF;РF0еНША=]СGИЁП .§œ$AF*@UЋ-ыИAG@HAH@H"%%@%@-A/This relation requires that we know e half way between grid points. We can either introduce a new grid of half-points or we can use the usual grid for e, assume that e varies smoothly, and approximate ej by the average of the values at the neighboring grid points. The second method is more convenient. 7 $/AI<$AJ8AFAK<AL8AF` SymbolAIAMA`8AF` ArialA]Aa<&Ab8AF` ArialA_AaAK9/Acўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFрФ’`4Ч€Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџˆCompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ0000046}WordPad DocumнСl`м „Е ƒj†+ˆ1‚/ˆ2 †=„Е ƒj †+„Е ƒj†+ˆ1 ˆ2ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9Вqћy2 Њљyџџџџџџџџй ŒЎ з џџџ.   Р &OlePres000џџџџ№Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџРџџџГџџџ€ г & MathTypeРњ-@&@z ћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwC f/-2 Ьv2yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwC f/-№2 гж 1y2 с2y2 u/y2 ё1yћ џSymbolЃ ‘dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwC f/-№2 гd +y2 +yћ€ўSymbolя №dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwC f/-№2 sњ+y2  ш=yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwC f/-№2 г jy2 г1jy2 +jyћ€ўSymbolя ёdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwC f/-№2 s ey2 s.ey2  (ey & џџџџћМ"System/C f/ !Š€у-№NANI006e0d08000000320ae0024417010000006e0d08000000320ae002cc130100 00006e0d08000000320ae1015e0c010000006e0d08000000320ae1014807010000006e0d080000 Au*@U й#­  Av@HAw@H"Њ99-4With this approximation, Laplace's equation becomes:7494Ax<4Ay:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Az</4A{<4A|0џџџџ@NormalArialџџџ A}@U@HY@ A~@HA@H"A€@HA@H"A‚@HAƒ@H"A„@HA…@H"A†@HA‡@H"Aˆ@HA‰@H"аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFŠќЃ`4ЧР Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ-CompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ ўџџџўџџџ !"#$%&џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџPWнСА у „Е ƒj †+„Е ƒj†+ˆ1 –(–)…І ƒj†+ˆ1 †"…І ƒj –(–)†"„Е ƒj†"ˆ1ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqEquation\EQNEџџџџџџџџ!žB Ё џџџ.  `&OlePres000џџџџ„Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџРџџџІџџџР & MathTypepћІ§уSymbolЕ Р”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-2 z5(yћІ§уSymbolE )”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 zй)yћІ§уSymbolЕ С”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 z1(yћІ§уSymbolE *”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 zЫ )yћІ§уSymbolЕ Т”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 z…(yћІ§уSymbolE +”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 z%)yћІ§уSymbolЕ У”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 z}(yћІ§уSymbolE ,”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 z)yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 €ќ0yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 рq1y2 рЂ1y2 ра1y2 р71yћ€ўSymbolЕ ХdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f †+„Е ƒj –(–)…І ƒj †"…І ƒj†"ˆ1 –(–)†=ˆ0ˆ0/ˆ2 ƒ"System– f !Š€у-№-№2 €Ъ=y2 €8Fy2 €-y2 €пFy2 €€+y2 €j -y2 €Ш Fy2 €Ў -y2 €“Fy2 €X+yћ џSymbolE .dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 р-y2 р3-y2 р]+y2 рФ+yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 рЎjy2 рUjy2 р˜jy2 рпjy2 р> jy2 р jy2 рpjy2 рjyћ€ўSymbolE /dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwš f-№2 €”ey2 €лey2 €ley2 €‹ey & џџџџћМ"Systemš f !Š€у-№NANI2 `ќey2 `4ey & џџџџћМAŠ*@UxC‡S}PA‹@HAŒ@H"в-or 79A<AŽ:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1A</A<A‘0џџџџ@NormalArialџџџ A’@Uh|h A“@HA”@H"A•@HA–@H"A—@HA˜@H"A™@HAš@H"A›@HAœ@H"A@HAž@H"аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF€E/Ц`4Ч€ Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџZCompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ )џџџџ !"#$%&ўџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџPWнС> ’ЄФ „Е ƒj †+„Е ƒj†+ˆ1 –(–)…І ƒj†+ˆ1 †+„Е ƒj†"ˆ1 †+„Е ƒj –(–)ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqEquation\EQNEџџџџџџџџF'ž2 ™ џџџ.  ` #&OlePres000џџџџtOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџРџџџІџџџ`# & MathTypepћІ§уSymbol ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-2 z5(yћІ§уSymbol? ў”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 zй)yћІ§уSymbol ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 zl (yћІ§уSymbol? џ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 z )yћІ§уSymbol ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 z•(yћІ§уSymbol? ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 zИ)yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 €˜"0y2 €Ж2yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 р1y2 рВ1y2 рœ1y2 р‰ 1y2 рm1y2 р71yћ€ўSymbol dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 €f!=y2 €Fy2 €7+y2 €+y2 €z-y2 €cFy2 €g +y…І ƒj†"ˆ1 †"„Е ƒj†"ˆ1 †+ˆ2„Е ƒj †+„Е ƒj†+ˆ1 –(–)…2 рVny2 рtnyћ€ўSymbol2 €K +y2 €0Fy2 €X+yћ џSymbol? dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 рЃ+y2 рC-y2 р--y2 р -y2 рњ+y2 рФ+yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 р… jy2 рOjy2 рnjy2 ряjy2 рйjy2 рjy2 рЦ jy2 рІjy2 рpjy2 рjyћ€ўSymbol? dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 €Key2 €jey2 €ыey2 €{ey2 €Т ey2 €ley2 €‹ey & џџџџћМ"Systemићfи !Š€у-№NANI2 р nyO ŒdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 €Yey2 €wey2 €їey2 €‰ey2 €Я ey2 €І ƒj †=ˆ0…І ƒn †=ˆ0Equa{ey2 €™ey & џџџџћМ"SystemвD fв !Š€у-№NANIOlePres000џџџџ„Ole џџџџџџџџџџџџAŸ*@UИkЧ{НxA @HAЁ@H"’-or 79AЂ<AЃ:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1AЄ</AЅ<AІ0џџџџ@NormalArialџџџ AЇ@U˜Щ˜ AЈ@HAЉ@H"AЊ@HAЋ@H"AЌ@HA­@H"AЎ@HAЏ@H"AА@HAБ@H"AВ@HAГ@H"аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFа’ф`4Ч€ Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџ[CompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ )џџџџ !"#$%&ўџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџPWнС?0У\ …І ƒj †=„Е ƒj †+„Е ƒj†+ˆ1 –(–)…І ƒn†+ˆ1 †+„Е ƒj†"ˆ1 †+„ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqEquation\EQNEџџџџџџџџЁ> Ÿ џџџ.   @&OlePres000џџџџ€Ole џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџРџџџГџџџS & MathTypeћІ§уSymbolГ ЯєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-2 mо(yћІ§уSymbolЃ љєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 m‚ )yћІ§уSymbolГ аєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 m(yћІ§уSymbolЃ њєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 mЖ)yћІ§уSymbolГ бєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 Ц (yћІ§уSymbolЃ ћєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 ЦC)yњ-@Щ@ъћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 ,Ё1y2 ,= 1y2 гF1y2 г31y2 г 1y2 гр1yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 ЬA 2yћ џSymbolГ гdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 ,.+y2 ,Ю -y2 гз-y2 гФ-y2 гЄ +yЕ ƒj –(–)…І ƒj†"ˆ1 „Е ƒj†"ˆ1 †+ˆ2„Е ƒj †+„Е ƒj2 сny2 сny2 рnyћ€ў2 гm+yћ€ўSymbolЃ §dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 ЬТ+y2 Ь +y2 s Fy2 s+y2 sѕ +y2 sй Fy2 s+y2  ‹=y2  4Fyћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 ,кjy2 ,љ jy2 ,z jy2 гƒjy2 г)jy2 гpjy2 г& ny2 гjy2 г8jy2 Њjyћ€ўSymbolЃ ўdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwœ f2-№2 Ьжey2 Ьѕ ey2 Ьvey2 s%ey2 sley2 sey2 s4ey & џџџџћМ"System2œ f2 !Š€у-№NANISymbolJ ldсИЄѓwСЄѓw 0ѕwЊ f#-№2 Ќзey2 Ќѕ ey2 Ќu ey2 3ey2 y†+ˆ1 –(–)ƒn†+ˆ1 –(–)quaey2 %ey2 Cey & џџџџћМ"System#Њ f# !Š€у-№NANIs000џџџџ„Ole џџџџџџџџџџџџAД*@Uл"ш)AЕ@HAЖ@H"88-AThis last expression will be used in a program loop to find Fj by successive approximations. The left side of the equation defines the new value of Fj in terms of the old Fj-1 and Fj+1. The new F values not on the boundary are simply weighted averages of the old values.7Х<AЗ<<AИ8AДAЙ<AК8AД` SymbolAЗAЛ<AМ8AД_AЙAН@@+@B=Serial_DisplayNodeXB?@@€B=B@*@UѓШ BA@HBB@H"BРР-#The grid points will be defined as:7#9#BC<#BD:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1BE</#BF<#BG0џџџџ@NormalArialџџџ BH@B@Uшє&є BI@HBJ@H"BK@@ pBL@@ С€BKBM@@dBLjBN@@Т€BLBO@@tBN0BP@@ЄBNjmaxBQ@B@UHѓx Y BR@HBS@H"BT@@ pBU@@ С€BTBV@@§@BUBW@@dBVxBX@@ЄBVjBY@@Ъ€BUBZ@@dBYjB[@@ЄBY\DxB\*@U˜ѓИЅ! B]@HB^@H"В  -Then:79B_<B`:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Ba</Bb<Bc0џџџџ@NormalArialџџџ Bd@B@Uиє ћ" Be@HBf@H"Bg@@ pBh@@ŒС€BgBi@@§@BhBj@@dBixBk@@ЄBijmaxBl@@–Ф€BhBm@@+@Bl@XBn@@€BlBo*@U4;(# Bp@HBq@H",, , -@œThe starting guess for Fj for the intial iteration will have the boundary conditions applied at j = 0 and j = jmax, and will simply be zero everywhere else:7\œBr<Bs8BoBt<Bu8Bo` SymbolBrBv<Bw8Bo_BtBx`$ B‚@HBƒ@H"B„@@ pB…@@ С€B„B†@@§@B…B‡@@dB† PhiStartBˆ@@ЄB†jB‰@@ДB…0BŠ@B@UxTЧlА`% B‹@HBŒ@H"B@@ pBŽ@@ С€BB@@§@BŽB@@dB PhiStartB‘@@ДB0B’@@•K€BŽB“@@ДB’4B”@B@UTYlI`& B•@HB–@H"B—@@ pB˜@@ С€B—B™@@§@B˜Bš@@dB™ PhiStartB›@@ЄB™jmaxBœ@@ДB˜4B*@Uƒ —ВBž@HBŸ@H"-@]The values for ej will be defined so that the slab with e = 3 is centered between the plates:79]B <BЁ8BBЂ<BЃ8B` SymbolB BЄ<BЅ8B_BЂBІ<'BЇ8BBЄBЈ<BЉ8B` SymbolBІBЊ<$BЋ8BBЈBЊBЂ9]BЌ<]B­:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1BЎ</]BЏ<]BА0џџџџ@NormalArialџџџ BБ@B@UЃ2И"АЇBВ@HBГ@H"BД@@ pBЕ@@ С€BДBЖ@@§@BЕBЗ@@dBЖ\eBИ@@ЄBЖjBЙ@@ДBЕ1BК@B@UhЄЖЕŠАЈBЛ@HBМ@H"BН@@ pBО@@ С€BНBП@@dBОjslabBР@@Т€BОBС@@tBР12BТ@@ДBР36BУ@B@UшЃИ АP BФ@HBХ@H"BЦ@@ pBЧ@@ С€BЦBШ@@§@BЧBЩ@@dBШ\eBЪ@@ЄBШjslabBЫ@@ДBЧ3BЬ*@U`Ѓ ГbАK BЭ@HBЮ@H"ЌЌЌ- e = 3 on a subset of points jj. 7 BЯ<Bа8BЬ` SymbolBб<Bв8BЬ` ArialBЯBбBЯ9 Bг< Bд:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Bе</ Bж< Bз0џџџџ@NormalArialџџџ Bи*@UУ4ѓаАBй@HBк@H",,0,0-AThe dielectric constant changes from e = 1 to e = 3 precisely at points 16 and 32. These two points are "half" in the dielectric and "half" in the vacuum. The accuracy of our method is improved if we assign an e value to these points that is the average of the values on either side: 7г%Bл<%Bм8BиBн<Bо8Bи` SymbolBлBп<Bр8BиBнBс<Bт8Bи` SymbolBпBу<Bф8BиBсBх<Bц8BиArialBуBч<ŸBш8BиBхBщ<Bъ8Bи` SymbolBчBы<C?0џџџџ@NormalArialџџџ C@*@U№7#јѓ CA@HCB@H"ZG G -@liter scales with jmax2 because the iterative procedure is similar to the procedure for a diffusion problem. 7lCC<CD8C@CE<CF8C@_CCCGўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџaЏŸB.вПdK8ЂЃРU-&t6Ч@Contentsџџџџџџџџџџџџ(џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ s&M 9di ixєџџџMS Shell DlgMЉРMЉіџџџMS Shell Dlgю|№‘|џџџџы‘|ЩУТw<TŒЩ1cаІ $Яб<D#@@ДDrad@XD$@@€DD%*@U{ ›‹ ˆ D&@HD'@H":‹‹-@JThis is a plot of the final iteration and several intermediate iterations:7 JD(< D)8D%D*<D+8D%}D(D,<<D-8D%D*D,D*9JD.@@ŸС€D9D?@@@D>D@@@€D>DA@@ У€D8DB@@ У@DADC@@ У@DBDD@@§@DCDE@@dDDPhiDF@@ У€DDDG@@tDF16DH@@ЄDFjDI@@§€DCDJ@@dDIPhiDK@@ У€DIDL@@ћ@DKDM@@dDLiterDN@@ДDL4DO@@ЄDKjDP@@§€DBDQ@@dDPPhiDR@@ У€DPDS@@ћ@DRDT@@dDSiterDU@@ДDS2DV@@ЄDRjDW@@§€DADX@@dDWPhiDY@@ У€DWDZ@@dDYiterD[@@ЄDYjD\@@ŸС€D7D]@@ŸС@D\D^@@ŸС@D]D_@@vD^12D`@@ЖD^0Da@@ŸС€D]Db@@@DaDc@@€DaDd@@§€D\De@@dDdxDf@@ЄDdjDg 5 )L)L&&&&&&&&&& & & & & &&&Dh*@U› UЋ Ј  Di@HDj@H"BMM-:We see that the plots are converging toward the solution. 7:9:Dk<:Dl:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Dm</:Dn<:Do0џџџџ@NormalArialџџџ Dp*@UЛ Cл Ш  Dq@HDr@H";; ; -@APut the final iteration into a vector Ffinal for easier plotting:7'&ADs<&Dt8DpDu<Dv8Dp` SymbolDsDw<Dx8DpDuDwDu9ADy0џџџџ@NormalArialџџџ E?@B@U` ћ^` фE@@HEA@H"EB@@ pEC@@С€EBED@@ŸС@ECEE@@ŸС@EDEF@@ŸС@EEEG@@vEF1.022EH@@ДEF0EI@@ŸС€EEEJ@@@EIEK@@€EIEL@@ У€EDEM@@§@ELEN@@dEMEEO@@ЄEMjEP@@§€ELEQ@@dEPDER@@ЄEPjES@@ŸС€ECET@@ŸС@ESEU@@ŸС@ETEV@@vEU11.875EW@@ЖEU0.125EX@@ŸС€ETEY@@@EXEZ@@€EXE[@@‰Ч€ESE\@@§@E[E]@@dE\xE^@@ЄE\jE_@@Ъ€E[E`@@tE_0.5Ea@@ЄE_\DxEb 5 )L)L&&&&&&&&&& & & & & &&&Ec*@Us0“€ђEd@HEe@H"(( ( -@žThe problem was set up initially so that E = 1 outside of the dielectric and E = 0.33 inside of the dielectric and this is approximately what has been found. 7ž9žEf<žEg:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Eh</žEi<žEj0џџџџ@NormalArialџџџ Ek@B@UЄUа)АѓEl@HEm@H"En@@ pEo@@ŒС€EnEp@@§@EoEq@@dEpEEr@@ћ€EpEs@@dErjmaxEt@@ДEr2Eu@@–Ф€EoEv@@+@Eu@XEw@@€EuEx*@UЋИЛ ИєEy@HEz@H"ААА- A typical value inside the slab:7 9 E{< E|:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1E}</ E~< E0џџџџ@NormalArialџџџ E€*@UлЧы шQ E@HE‚@H"ППП-!A typical value outside the slab:7!9!Eƒўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРFаЄљ6ЧOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџЗCompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџЈЩL RЫЏС›˜WЌO †+ƒdƒdƒx„Еƒdƒdƒx…І–[–]†+ƒdƒdƒy„Еƒdƒdƒy…І–[–]†=ˆ0athcўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9Вqџџџџџџџџщі*  џџџ.  €р&OlePres000џџџџlOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџРџџџРџџџ @ & MathType№њ-@e@@ц@‚@ @­ @’ @4ћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwŽ f6-2  м0yћ€ўSymbol Р@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwŽ f6-№2  Њ=y2 Јњy2 "Јћy2 ЂЈљy2 ѕ ъy2 "ѕ ыy2 Ђѕ щy2  pFy2  р+y2 :іњy2 њіћy2 Ъіљy2 :Iъy2 њIыy2 ЪIщy2  ОFy2  :+yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwŽ f6-№2 ЬЌ dy2 Ўє dy2 Ь% dy2 Ўm dy2 Ьdx2 ЎEdx2 Ьdx2 ЎФdxћ€ўSymbol С@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwŽ f6-№2   ex2  гex & џџџџћМ"System6Ž f6 !Š\ѓ-№NANIstem32;C:\EЎ@UpG‡pm EЏ@HEА@H"EБ@HEВ@H"EГ@HEД@H"EЕ@HEЖ@H"EЗ@HEИ@H"EЙ@HEК@H"аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF`с fБ3ЧOle џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџACompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџј +Т%8$ЌO "†" †Х"2ƒD †=ˆ0ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqџџџџџџџџzWr 9 џџџ.   р&џџџџРџџџЈџџџ Ш & MathType0ћ€ўOlePres000џџџџДOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw# fЮ-2 Ри0yћ€ўSymbolm А@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw# fЮ-№2 РІ=y2 Р~зy2 Р.бyћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕw# fЮ-№2 Р&Dyћ€ўMT Extra Б@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕw# fЮ-№2 v}ry2 vmry & џџџџћМ"SystemЮ# fЮ !Š\ѓ-№NANIEЛ*@U`sƒd€n EМ@HEН@H"ЅЅЅ-in two dimensions becomes:79EО<EП:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1EР</EС<EТ0џџџџ@NormalArialџџџ EУ*@UГњЧРf EФ@HEХ@H"ђђђ-@XThere will be two grids: xj and yk. Both F and e will be dependent upon both variables. 70XEЦ<EЧ8EУEШ<EЩ8EУ_EЦEЪ<EЫ8EУEШEЬ<EЭ8EУ_EЪEЮ<EЯ8EУEЬEа<Eб8EУ` SymbolEЮEв<Eг8EУEаEд<Eе8EУ` SymbolEвEж<(Eз8EУEдEжEШ9XEиўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF€E/Ц`4Ч€ Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџZCompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ )џџџџ !"#$%&ўџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџPWнС> ’ЄФ „Е ƒj †+„Е ƒj†+ˆ1 –(–)…І ƒj†+ˆ1 †+„Е ƒj†"ˆ1 †+„Е ƒj –(–)ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqEquation\EQNEџџџџџџџџF'ž2 ™ џџџ.  ` #&OlePres000џџџџtOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџРџџџІџџџ`# & MathTypepћІ§уSymbol ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-2 z5(yћІ§уSymbol? ў”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 zй)yћІ§уSymbol ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 zl (yћІ§уSymbol? џ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 z )yћІ§уSymbol ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 z•(yћІ§уSymbol? ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 zИ)yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 €˜"0y2 €Ж2yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 р1y2 рВ1y2 рœ1y2 р‰ 1y2 рm1y2 р71yћ€ўSymbol dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 €f!=y2 €Fy2 €7+y2 €+y2 €z-y2 €cFy2 €g +y…І ƒj†"ˆ1 †"„Е ƒj†"ˆ1 †+ˆ2„Е ƒj †+„Е ƒj†+ˆ1 –(–)…2 рVny2 рtnyћ€ўSymbol2 €K +y2 €0Fy2 €X+yћ џSymbol? dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 рЃ+y2 рC-y2 р--y2 р -y2 рњ+y2 рФ+yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 р… jy2 рOjy2 рnjy2 ряjy2 рйjy2 рjy2 рЦ jy2 рІjy2 рpjy2 рjyћ€ўSymbol? dсИЄѓwСЄѓw 0ѕwћfи-№2 €Key2 €jey2 €ыey2 €{ey2 €Т ey2 €ley2 €‹ey & џџџџћМ"Systemићfи !Š€у-№NANI2 р nyO ŒdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 €Yey2 €wey2 €їey2 €‰ey2 €Я ey2 €І ƒj †=ˆ0…І ƒn †=ˆ0Equa{ey2 €™ey & џџџџћМ"SystemвD fв !Š€у-№NANIOlePres000џџџџ„Ole џџџџџџџџџџџџEђ*@U;K H=Eѓ@HEє@H"B--In two dimensions, Laplace's equation becomes7-9-Eѕ<-Eі:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Eї</-Eј<-Eљ0џџџџ@NormalArialџџџ Eњ@UXћЕX Eћ@HEќ@H"E§@HEў@H"Eџ@HF@H"F@HF@H"F@HF@H"F@HF@H"**аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџ џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF •Lбz4Ч€Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџГCompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџPWнС—XДO ˆ1…”ƒx–(–) ˆ2 „Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk†+ˆ1 –(–)…І ƒj‚,ƒўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqEquation\EQNEk†+ˆ1 †+„Е ƒj‚,ƒk†"ˆ1 †+„Е ƒj‚,ƒk –(–)…І ƒj‚,ƒk†"ˆ1OlePres000џџџџ LOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ †"„Е ƒj‚,ƒk†"ˆ1 †+ˆ2„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk†+ˆ1 –(–)…І ƒj‚,ƒk –[–]†+ˆ1…”ƒy–(–) ˆ2 „Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj†+ˆ1‚,ƒk –(–)…І ƒj†+ˆ1‚,ƒk †+„Е ƒj†"ˆ1‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk –(–)…І ƒj†"ˆ1‚,ƒk †"„Е ƒj†"ˆ1‚,ƒk †+ˆ2„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj†+ˆ1‚,ƒk –(–)…І ƒj‚,ƒk –[–]†=ˆ0 –(–)…І ƒj‚,ƒk –[–]†=ˆ0O ˆ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 ~Ь)yћўуSymbol4 5”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 ~‘(yћўуSymbolO ‰”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 ~Ч )yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 €Е$0y2 €У2yemЂз fЂ !Š\ѓ-№NANIky2 ПЯjy2 Пхky2 ПPjy2 Пjky2 Пеjy2 П%ky2 П jy2 ПЪ ky2 П5 jy2 П'ky2 П’jyћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwf0-№2 %Еyy2 ЎЕxyћ€ўSymbol  s@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwf0-№2 ж№'ey2 жM$ey2 ж ey2 жRey2 жзey2 ж7ey2 ж”ey2 _ъ'ey2 _G$ey2 _ey2 _Ley2 _бey2 _1ey2 _Žey & џџџџћМ"System0f0 !Š\ѓ-№NANITimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 рx"ny2 р4ny2 рRny2 рвny2 р=ny2 рdny2 рЊ ny2 р nyO ŒdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 €Yey2 €wey2 €їey2 €‰ey2 €Я ey2 €‚,ƒk†"ˆ1 †+ˆ2„Е ƒj‚,ƒk †+„Е{ey2 €™ey & џџџџћМ"SystemвD fв !Š€у-№NANIOlePres000 ƒj‚,ƒk†+ˆ1 –(–)…І ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj†+ˆ1‚,ƒk –(–)…І ƒj†+ˆ1‚,ƒk –(–)†+„Е ƒj†"ˆ1‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk –(–)…І ƒj†"ˆ1‚,ƒk –(–)†"„Е ƒj†"ˆ1‚,ƒk †+ˆ2„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj†+ˆ1‚,ƒk –(–)…І ƒj‚,ƒk †=ˆ0-№2 ~)yћўуSymbol4 4”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 ~~(yћўуSymbolO ˆ”рИЄѓwСЄѓw 0ѕwD fв-№2 ~Ь)yџџџџџџџџ]4Ѕ    џџџ.  Р€/&џџџџРџџџЙџџџ@/y & MathTypeћўуSymbolЩ sаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-2 ЌS(yћўуSymbolЛ ЅаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 Ќu)yњ-џ@џЉћІ§уSymbolЩ tаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 Y8(yћІ§уSymbolЛ ІаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 Y` )yћІ§уSymbolЩ uаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 YЕ(yћІ§уSymbolЛ ЇаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 Yй)yћІ§уSymbolЩ vаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 Y$(yћІ§уSymbolЛ ЈаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 Y))yћ§уSymbolЩ wp№ИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 \п[yћ§уSymbolЛ Љp№ИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 \Ђ,]yћўуSymbolЩ xаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 #S(yћўуSymbolЛ ЊаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 #{)yv@vЏћІ§уSymbolЩ yаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 а>(yћІ§уSymbolЛ ЋаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 аf )yћІ§уSymbolЩ zаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 аЛ(yћІ§уSymbolЛ ЌаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 ап)yћІ§уSymbolЩ {аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 а*(yћІ§уSymbolЛ ­аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 а“))yћ§уSymbolЩ |p№ИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 гх[yћ§уSymbolЛ Ўp№ИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 гЈ,]yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 ж‡.0y2 ж "2y2 ф—1y2 _"2y2 m”1yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 6Г+,y2 6—(,y2 6/(1y2 6$,y2 6Џ,y2 6G1y2 6з,y2 6o1y2 6у,y2 6@,y2 6и1y2 6b,y2 6њ 1y2 6j ,y2 6 1y2 6ы,y2 ]њ2y2 П­+,y2 Пы(1y2 ПЕ',y2 П$,y2 П 1y2 Пб,y2 П+1y2 Пљ,y2 Пн,y2 П”1y2 Пb,y2 ПЖ1y2 П€ ,y2 ПО 1y2 Пˆ ,y2 Пх,y2 цє2yћ€ўSymbolЩ ~@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 жU-=y2 жъ)Fy2 жP%+y2 жч +y2 ж-y2 ж6Fy2 жx+y2 жš+y2 жН Fy2 ж#+y2 %ЫDy2 _7-+y2 _ф)Fy2 _J%+y2 _с +y2 _ -y2 _0Fy2 _r+y2 _”+y2 _З Fy2 _+y2 ЎЫDyћ џSymbolЛ А@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 6М'+y2 6и-y2 6-y2 6i-y2 6‡ +y2 6 +y2 Пx(+y2 П”-y2 ПМ-y2 П%-y2 ПC+y2 ПK +yћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 6ѕ+ky2 6`+jy2 6й(ky2 6h'jy2 6Z$ky2 6Х#jy2 6ёky2 6„jy2 6ky2 6Ќjy2 6%ky2 6jy2 6‚ky2 6jy2 6Єky2 63 jy2 6Ќ ky2 6; jy2 6-ky2 6˜jy2 Пя+ky2 ПZ+jy2 Пї'ky2 Пb'jy2 ПT$ky2 ПП#jy2 Пky2 П~jy2 П;ky2 ПІjy2 Пky2 ПŠjy2 ПЄky2 Пjy2 ПТ ky2 П- jy2 ПЪ ky2 П5 jy2 П'ky2 П’jyћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 %Еyy2 ЎЕxyћ€ўSymbolЩ €@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwз fЂ-№2 жd&ey2 жС"ey2 ж€ey2 жŒey2 жey2 ж7ey2 ж”ey2 _^&ey2 _Л"ey2 _zey2 _†ey2 _ ey2 _1ey2 _Žey & џџџџћМ"SystF*@UЫЪпи@F@HF @H"BТТ-@RThis can be rearranged to give us the equation for Fj,k to use in the iterations: 773RF <3F 8FF <F 8F` SymbolF F<F8F_F F<F8FFFF 9RFўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF Oбz4Ч€Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџCompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ ўџџџ !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџPWнСі№гY …І ƒj‚,ƒk †=„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk†+ˆ1 –(–)…І ƒj‚,ƒk†+ˆ1 †+ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqEquation\EQNE„Е ƒj‚,ƒk†"ˆ1 †+„Е ƒj‚,ƒk –(–)…І ƒj‚,ƒk†"ˆ1 †+„Е OlePres000џџџџPOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџƒj‚,ƒk †+„Е ƒj†+ˆ1‚,ƒk –(–)…І ƒj†+ˆ1‚,ƒk †+„Е ƒj†"ˆ1‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk –(–)…І ƒj†"ˆ1‚,ƒk „Е ƒj†"ˆ1‚,ƒk †+ˆ2„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj†+ˆ1‚,ƒk –(–)†+„Е ƒj‚,ƒk†"ˆ1 †+ˆ2„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk†+ˆ1 –(–)†+„Е ƒj‚,ƒk†+ˆ1 –(–)џџџџџџџџз:  џџџ.   `5&џџџџРџџџГџџџ 5S & MathTypeћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-2 n (yћІ§уSymbolЛ ЕаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 nФ )yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 n(yћІ§уSymbolЛ ЖаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 n8)yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 nˆ(yћІ§уSymbolЛ ЗаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 nЌ$)yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 nџ)(yћІ§уSymbolЛ ИаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 n 1)yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 Чf(yћІ§уSymbolЛ ЙаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ЧЩ)yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 Чˆ(yћІ§уSymbolЛ КаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 Чы))yњ-@‹@5ћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ,I)1y2 ,(,y2 ,s$,y2 ,f 1y2 ,4,y2 ,Э,y2 ,e1y2 ,Q,y2 ,ъ,y2 ,‚1y2 г4,y2 гА31y2 г$0,y2 гƒ,,y2 г,1y2 гЇ',y2 г?'1y2 гА#,y2 гH#1y2 г4,y2 гŠ1y2 гX,y2 г<,y2 гѕ1y2 гУ,y2 г1y2 гф ,y2 г" 1y2 гэ ,y2 гL,y2 §,yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 Ьi"2y2 ЬG2yћ џSymbolф @ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ,з(+y2 ,ї-y2 ,ѓ+y2 ,-y2 гA3-y2 гЌ+-y2 гЭ&+y2 гж"+y2 г-y2 г†-y2 гЇ+y2 гА +yћ€ўSymbolЛ М@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ЬЋ%+y2 ЬD!+y2 Ьh+y2 Ь‰+y2 Ь"+y2 sw1Fy2 sЛ-+y2 sп(+y2 s%Fy2 sl +y2 sh+y2 sFy2 sг+y2 sї+y2 s Fy2 s„+y2  M=y2  4џџџџџџџџ:ю  ї џџџ.    4&џџџџРџџџГџџџ`4S & MathTypeћІ§уSymbolt ЭєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-2 mп(yћІ§уSymbol$ BєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 m )yћІ§уSymbolt ЮєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 mV(yћІ§уSymbol$ CєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 mw)yћІ§уSymbolt ЯєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 mЧ(yћІ§уSymbol$ DєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 mы#)yћІ§уSymbolt аєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 m>)(yћІ§уSymbol$ EєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 m_0)yћІ§уSymbolt бєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ЦЅ(yћІ§уSymbol$ FєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 Ц)yћІ§уSymbolt вєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ЦЧ(yћІ§уSymbol$ GєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 Ц*))yњ-@Ъ@U4ћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ,ˆ(1y2 ,S',y2 ,В#,y2 ,Ѕ1y2 ,s,y2 , ,y2 ,Є1y2 ,,y2 ,),y2 ,С1y2 гW3,y2 гя21y2 гc/,y2 гТ+,y2 гZ+1y2 гц&,y2 г~&1y2 гя",y2 г‡"1y2 гs,y2 гЩ1y2 г—,y2 г{,y2 г41y2 г,y2 гX1y2 г# ,y2 гa 1y2 г, ,y2 г‹,yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ЬЈ!2y2 Ь†2yћ џSymbolt дdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ,(+y2 ,6-y2 ,2+y2 ,R-y2 г€2-y2 гы*-y2 г &+y2 г"+y2 гZ-y2 гХ-y2 гц +y2 гя +yћ€ўSymbol$ IdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 Ьъ$+y2 Ьƒ +y2 ЬЇ+y2 ЬШ+y2 Ьa+y2 sЖ0Fy2 sњ,+y2 s(+y2 sB$Fy2 sЋ+y2 sЇ+y2 sЮFy2 s+y2 s6+y2 sZ Fy2 sУ+y2  Œ=y2  4Fyћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ,•'ky2 ,'jy2 ,є#ky2 ,_#jy2 ,Еky2 , jy2 ,Nky2 ,оjy2 ,вky2 ,=jy2 ,kky2 ,ўjy2 г™3ky2 г,2jy2 гЅ/ky2 г/jy2 г,ky2 г—*jy2 г('ky2 гИ%jy2 г1#ky2 гС!jy2 гЕky2 г jy2 гйky2 гDjy2 гНky2 г(jy2 гDky2 гЏjy2 гe ky2 га jy2 гn ky2 гйjy2 гЭky2 г8jy2 nyћ€ўSymbol$ JdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 Ь§%ey2 Ь\"ey2 Ьey2 Ьлey2 Ь:ey2 Ьћey2 s .ey2 s”)ey2 sО ey2 sey2 s%ey2 sЌey2 sжey2 s5ey & џџџџћМ"System0Іf0 !Š€у-№ky2 т“&jy2 тЭ#ky2 тJ"jy2 тkky2 таjy2 тGky2 тЌjy2 тцky2 тKjy2 тˆky2 тэjy2 т` ky2 тХ jy2 т ky2 т|jy2 тky2 тjy2 onyћ€ўSymbolS AdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwP f>-№2 Я{&ey2 Я#ey2 Янey2 ЯЕey2 Я;ey2 Яey2 ‚&/ey2 ‚Ш*ey2 ‚W!ey2 ‚нey2 ‚Xey2 ‚њey2 ‚‰ey2 ‚ey & џџџџћМ"System>P f> !Š€у-№NANIFyћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ,V(ky2 ,С'jy2 ,Е$ky2 , $jy2 ,vky2 ,сjy2 ,ky2 ,Ÿjy2 ,“ky2 ,ўjy2 ,,ky2 ,Пjy2 гZ4ky2 гэ2jy2 гf0ky2 гб/jy2 гХ,ky2 гX+jy2 гщ'ky2 гy&jy2 гђ#ky2 г‚"jy2 гvky2 гсjy2 гšky2 гjy2 г~ky2 гщjy2 гky2 гpjy2 г&ky2 г‘ jy2 г/ ky2 гš jy2 гŽky2 гљjy2 ?ky2 Њjyћ€ўSymbolЛ Н@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ЬО&ey2 Ь#ey2 Ьоey2 Ьœey2 Ьћey2 ЬМey2 sЮ.ey2 sU*ey2 s!ey2 sоey2 sцey2 smey2 s—ey2 sіey & џџџџћМ"System‡Щ f‡ !Š\ѓ-№NANIey2 sжey2 s5ey & џџџџћМ"Systemzи fz !Šј-№eyЋм2‚рм Ю 2 ‚ey & џџџџћМ"System>P f> !Š€у-№32;C:\WINDOWS;C:\WINDO •-аЗр x&OlePres000џџџџF$*@UC8SP5F%@HF&@H"B00-3where we have assumed that Dx = Dy for simplicity. 713F'<F(8F$F)<F*8F$` SymbolF'F+<F,8F$F)F-<F.8F$` SymbolF+F/<F08F$F-F1<F28F$ArialF/F3<F48F$F1F3F)93F5<3F6:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1F7</3F8<3F90џџџџ@NormalArialџџџ F:@U pJ pwF;@HF<@H"№иF=ЮWц ѓ  Fо.ћМ"Systemо­;Фщюƒ9ИB# -ћœџ@Times New Roman-  2 ]мI К-њ-ќ-%Mпzпњ-ќџџџ-№'џџњ--%MNzN--№'џџ-B( џџџ""€-њџџџ-$фдкдаеЦжНзГкЊмЁп˜уч‡ы№wѕoњhaZ TMH"B)=1894B0K-S*\'f%o#y"‚!Œ!–! "Њ#Д%О'Ч*а-й0т4ы8ѓ=ћBH MTZ a'h-o2w8=‡BF˜JЁMЊPГSМUЦWаXкYфYюYјXW USP'M0J8FABI=Q8X2`-g'm tz€ …Šћѓ“ы—т›йžа ЧЃОЄДІЊІ Ї–ІŒІ‚ЄyЃo fž\›S—K“B9Š1…)€"ztm g`XњQѕI№Aы8ч0у'пмк зжјеюдфд--№њ--%фдкдаеЦжНзГкЊмЁп˜уч‡ы№wѕoњhaZ TMH"B)=1894B0K-S*\'f%o#y"‚!Œ!–! "Њ#Д%О'Ч*а-й0т4ы8ѓ=ћBH MTZ a'h-o2w8=‡BF˜JЁMЊPГSМUЦWаXкYфYюYјXW USP'M0J8FABI=Q8X2`-g'm tz€ …Šћѓ“ы—т›йžа ЧЃОЄДІЊІ Ї–ІŒІ‚ЄyЃo fž\›S—K“B9Š1…)€"ztm g`XњQѕI№Aы8ч0у'пмк зжјеюдфд--№'џџ8u ћ‹џ@"Arial-2 сH u8+VDN 2 ск u8 К?'џџС8 -  2 ˆH 8С-К' 2 ˆo 8СVКN 2 ˆН 8С К?'џџ-F>*@Uq›ƒ€dF?@HF@@H"B““-Define the problem 79FA<FB:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1FC</FD<FE0џџџџ@NormalArialџџџ FF*@UЃє3АeFG@HFH@H"ььь-AOThe domain will be 12 units on each side with Dx and Dy both equal to 0.25. We will place an infinitely long cylindrical rod in the domain oriented so that the axis of the rod is out of the page. The radius of the rod will be 2 units and the relative dielectric constant will be 3. The applied potential difference will be 12 units. 76.OFI<.FJ8FFFK<FL8FF` SymbolFIFM<FN8FFFKFO<FP8FFArialFMFQ<FR8FF` SymbolFOFS<FT8FF` ArialFQFSFK9OFU@@ДG<2G?@@–Ф€G9G@@@+@G?@XGA@@€G?GB*@U№“/Г  GC@HGD@H"?? ? -@OThese are the extra two points needed to enforce periodic boundary conditions. 7O9OGE@@dH=tanhH?@@Žp€H=H@@@ћ€H?HA@@ˆЧ@H@HB@@dHArHC@@ДHA2HD@@Ъ€H@HE@@tHD0.5HF@@ЄHD\DxHG*@Uрc<ƒъpЇHH@HHI@H"\\ \ -@IThe denominator of the argument was chosen to be half the grid spacing. 7I9IHJўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЅI>'обšщРr РЦ/&t6ЧContentsџџџџџџџџџџџџЪџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ —!6" Еј™Bу?/елВ[@сЎ<П|@ЪлМЌl€@№?џџџџ333џd џ  №П№?H@  №П№?№?@  №П№?I@  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџџ€?€?@џ€?€?€?@џ€?€?@ џџџџџџ€?€?€?D# >ј€@@@€?@BHB€?ШAШAШAШAШAШAШAШAШAШAШAШAШAШAL<N‡шшШAШAШAШAШAШAШAШAШAШAHи@@ЄHд\eHй*@UYвkh% Hк@HHл@H"BЪЪ-The y boundary conditions79Hм<Hн:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Hо</Hп<Hр0џџџџ@NormalArialџџџ Hс*@Uƒ%Г& Hт@HHу@H"00-@ЦWe will assume a potential of +6 at the top boundary and -6 at the bottom boundary. These conditions will be enforced in the program loop by keeping the Fj,k values constant for j = 0 and j = jmax. 7™ЦHф<™Hх8HсHц<Hч8Hс` SymbolHфHш<Hщ8Hс_HцHъ<)Hы8HсHшHъHц9ЦHь<ЦHэ:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Hю</ЦHя<ЦH№0џџџџ@NormalArialџџџ Hё*@UрЛљ№ШHђ@HHѓ@H"ГГГ-The initial guess for Fj,k7Hє<Hѕ8HёHі<Hї8Hё` SymbolHєHј<Hљ8Hё_HіHјHі9Hњ<Hћ:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1Hќ</H§<Hў0џџџџ@NormalArialџџџ Hџ*@U1#аI@HI@H")) ) -@ЄThe initial guess will go in a matrix PhiGuess and this will have the boundary conditions applied. The guess will be zero except at the top and bottom boundaries. 7Є9ЄI<ЄI:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1I</ЄI<ЄI0џџџџ@NormalArialџџџ I@B@U4bLR@бI@HI @H"I @@ pI @@ С€I I @@§@I I @@dI PhiGuessI@@ У€I I@@dIjI@@ЄIkI@@ДI 0I@B@U4ёLк@ўI@HI@H"I@@ pI@@ С€II@@§@II@@dI PhiGuessI@@ У€II@@dIjI@@ДI0I@@•K€II@@ДI6I@B@U84ЅL•@џI@HI @H"I!@@ pI"@@ С€I!I#@@§@I"I$@@dI# PhiGuessI%@@ У€I#I&@@dI%jI'@@ЄI%kmaxI(@@ДI"6I)*@UYkh* I*@HI+@H"B……-The program loop79I,<I-:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1I.</I/<I00џџџџ@NormalArialџџџ I1@B@UsM ! I2@HI3@H"I4@@ pI5@@ С€I4I6@@dI5iterI7@@ћ€I5I8@@ќ@I7I9@@dI8jmaxI:@@ДI82I;@@ДI74I<*@U€ƒ:“‹I=@HI>@H"ККК-"This is the number of iterations. 7"9"I?<"I@:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1IA</"IB<"IC0џџџџ@NormalArialџџџ ID*@UГ,Р(IE@HIF@H"$$`$`-A†Recall that the subscript j is for the x direction and goes to jmax +2 and the subscript k for the y direction goes to kmax. The program loop is not done for k = 0 and k = kmax because we do not need to alter the fixed boundaries. The points at j = 0 and j = jmax + 2 are defined using the symmetry condition. In this two-dimensional problem, we do not save the intermediate iterations. 7†999M†IG</J?<J@0џџџџ@NormalArialџџџ JA@UИ-чИ, JB@HJC@H"JD@HJE@H"JF@HJG@H"JH@HJI@H"JJ@HJK@H"JL@HJM@H"00аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџ џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЮРF Oбz4Ч€Ole џџџџџџџџEquation Native џџџџџџџџџџџџCompObjџџџџџџџџџџџџfўџџџўџџџ ўџџџ !"#$%&'()*+,-./0123456789:;<=>?@ABCDEFGHIўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџPWнСі№гY …І ƒj‚,ƒk †=„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk†+ˆ1 –(–)…І ƒj‚,ƒk†+ˆ1 †+ўџ џџџџЮРFMicrosoft Equation 3.0 DS Equation Equation.3є9ВqEquation\EQNE„Е ƒj‚,ƒk†"ˆ1 †+„Е ƒj‚,ƒk –(–)…І ƒj‚,ƒk†"ˆ1 †+„Е OlePres000џџџџPOle џџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџƒj‚,ƒk †+„Е ƒj†+ˆ1‚,ƒk –(–)…І ƒj†+ˆ1‚,ƒk †+„Е ƒj†"ˆ1‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk –(–)…І ƒj†"ˆ1‚,ƒk „Е ƒj†"ˆ1‚,ƒk †+ˆ2„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj†+ˆ1‚,ƒk –(–)†+„Е ƒj‚,ƒk†"ˆ1 †+ˆ2„Е ƒj‚,ƒk †+„Е ƒj‚,ƒk†+ˆ1 –(–)†+„Е ƒj‚,ƒk†+ˆ1 –(–)џџџџџџџџз:  џџџ.   `5&џџџџРџџџГџџџ 5S & MathTypeћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-2 n (yћІ§уSymbolЛ ЕаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 nФ )yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 n(yћІ§уSymbolЛ ЖаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 n8)yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 nˆ(yћІ§уSymbolЛ ЗаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 nЌ$)yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 nџ)(yћІ§уSymbolЛ ИаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 n 1)yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 Чf(yћІ§уSymbolЛ ЙаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ЧЩ)yћІ§уSymbolф аяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 Чˆ(yћІ§уSymbolЛ КаяИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 Чы))yњ-@‹@5ћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ,I)1y2 ,(,y2 ,s$,y2 ,f 1y2 ,4,y2 ,Э,y2 ,e1y2 ,Q,y2 ,ъ,y2 ,‚1y2 г4,y2 гА31y2 г$0,y2 гƒ,,y2 г,1y2 гЇ',y2 г?'1y2 гА#,y2 гH#1y2 г4,y2 гŠ1y2 гX,y2 г<,y2 гѕ1y2 гУ,y2 г1y2 гф ,y2 г" 1y2 гэ ,y2 гL,y2 §,yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 Ьi"2y2 ЬG2yћ џSymbolф @ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ,з(+y2 ,ї-y2 ,ѓ+y2 ,-y2 гA3-y2 гЌ+-y2 гЭ&+y2 гж"+y2 г-y2 г†-y2 гЇ+y2 гА +yћ€ўSymbolЛ М@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ЬЋ%+y2 ЬD!+y2 Ьh+y2 Ь‰+y2 Ь"+y2 sw1Fy2 sЛ-+y2 sп(+y2 s%Fy2 sl +y2 sh+y2 sFy2 sг+y2 sї+y2 s Fy2 s„+y2  M=y2  4џџџџџџџџ:ю  ї џџџ.    4&џџџџРџџџГџџџ`4S & MathTypeћІ§уSymbolt ЭєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-2 mп(yћІ§уSymbol$ BєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 m )yћІ§уSymbolt ЮєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 mV(yћІ§уSymbol$ CєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 mw)yћІ§уSymbolt ЯєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 mЧ(yћІ§уSymbol$ DєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 mы#)yћІ§уSymbolt аєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 m>)(yћІ§уSymbol$ EєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 m_0)yћІ§уSymbolt бєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ЦЅ(yћІ§уSymbol$ FєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 Ц)yћІ§уSymbolt вєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ЦЧ(yћІ§уSymbol$ GєпИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 Ц*))yњ-@Ъ@U4ћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ,ˆ(1y2 ,S',y2 ,В#,y2 ,Ѕ1y2 ,s,y2 , ,y2 ,Є1y2 ,,y2 ,),y2 ,С1y2 гW3,y2 гя21y2 гc/,y2 гТ+,y2 гZ+1y2 гц&,y2 г~&1y2 гя",y2 г‡"1y2 гs,y2 гЩ1y2 г—,y2 г{,y2 г41y2 г,y2 гX1y2 г# ,y2 гa 1y2 г, ,y2 г‹,yћ€ўTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ЬЈ!2y2 Ь†2yћ џSymbolt дdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ,(+y2 ,6-y2 ,2+y2 ,R-y2 г€2-y2 гы*-y2 г &+y2 г"+y2 гZ-y2 гХ-y2 гц +y2 гя +yћ€ўSymbol$ IdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 Ьъ$+y2 Ьƒ +y2 ЬЇ+y2 ЬШ+y2 Ьa+y2 sЖ0Fy2 sњ,+y2 s(+y2 sB$Fy2 sЋ+y2 sЇ+y2 sЮFy2 s+y2 s6+y2 sZ Fy2 sУ+y2  Œ=y2  4Fyћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 ,•'ky2 ,'jy2 ,є#ky2 ,_#jy2 ,Еky2 , jy2 ,Nky2 ,оjy2 ,вky2 ,=jy2 ,kky2 ,ўjy2 г™3ky2 г,2jy2 гЅ/ky2 г/jy2 г,ky2 г—*jy2 г('ky2 гИ%jy2 г1#ky2 гС!jy2 гЕky2 г jy2 гйky2 гDjy2 гНky2 г(jy2 гDky2 гЏjy2 гe ky2 га jy2 гn ky2 гйjy2 гЭky2 г8jy2 nyћ€ўSymbol$ JdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwІf0-№2 Ь§%ey2 Ь\"ey2 Ьey2 Ьлey2 Ь:ey2 Ьћey2 s .ey2 s”)ey2 sО ey2 sey2 s%ey2 sЌey2 sжey2 s5ey & џџџџћМ"System0Іf0 !Š€у-№ky2 т“&jy2 тЭ#ky2 тJ"jy2 тkky2 таjy2 тGky2 тЌjy2 тцky2 тKjy2 тˆky2 тэjy2 т` ky2 тХ jy2 т ky2 т|jy2 тky2 тjy2 onyћ€ўSymbolS AdсИЄѓwСЄѓw 0ѕwP f>-№2 Я{&ey2 Я#ey2 Янey2 ЯЕey2 Я;ey2 Яey2 ‚&/ey2 ‚Ш*ey2 ‚W!ey2 ‚нey2 ‚Xey2 ‚њey2 ‚‰ey2 ‚ey & џџџџћМ"System>P f> !Š€у-№NANIFyћ џTimes New RomanИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ,V(ky2 ,С'jy2 ,Е$ky2 , $jy2 ,vky2 ,сjy2 ,ky2 ,Ÿjy2 ,“ky2 ,ўjy2 ,,ky2 ,Пjy2 гZ4ky2 гэ2jy2 гf0ky2 гб/jy2 гХ,ky2 гX+jy2 гщ'ky2 гy&jy2 гђ#ky2 г‚"jy2 гvky2 гсjy2 гšky2 гjy2 г~ky2 гщjy2 гky2 гpjy2 г&ky2 г‘ jy2 г/ ky2 гš jy2 гŽky2 гљjy2 ?ky2 Њjyћ€ўSymbolЛ Н@ёИЄѓwСЄѓw 0ѕwЩ f‡-№2 ЬО&ey2 Ь#ey2 Ьоey2 Ьœey2 Ьћey2 ЬМey2 sЮ.ey2 sU*ey2 s!ey2 sоey2 sцey2 smey2 s—ey2 sіey & џџџџћМ"System‡Щ f‡ !Š\ѓ-№NANIey2 sжey2 s5ey & џџџџћМ"Systemzи fz !Šј-№eyЋм2‚рм Ю 2 ‚ey & џџџџћМ"System>P f> !Š€у-№32;C:\WINDOWS;C:\WINDO •-аЗр x&OlePres000џџџџJN*@U#/C0 JO@HJP@H"'' ' -@ЕThe second "for j, for k" loops applies the periodic boundary conditions at j = 0 and j = jmax. Then all the other F values are updated in this loop using the weighted average Avg. 7”sЕJQўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџaЏŸB.вПdK8ЂЃРЦ/&t6Ч@Contentsџџџџџџџџџџџџ(џџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ p/’  1di ixєџџџMS Shell Dlg]ЉШ]ЉіџџџMS Shell Dlgю|№‘|џџџџы‘|ЩУТw<TŒЩ1cаІ $ЯбџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџJ}@@ДJyrad@XJ~@@€JvJ*@UC<SP/ J€@HJ@H"444-@dThe contour plot of the pontential shows the the potential gradient is weaker inside the dielectric:7 dJ‚<Jƒ8JJ„< J…8J}J‚J†ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЅI>'обšщРr РЦ/&t6ЧContentsџџџџџџџџџџџџЪџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ {'Т& 4gZ^–х?xНbEќ@cnMm­ГЋ?e-:0z|@№?џџџџ333џd џ  №П№?H@  №П№?Р@  №П№?I@  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџџ€?€?@џ€?€?€?@џ€?€?@ џџџџџџ€?€?€?D >и€@Р@РР@BHB€?$CC€?€?€?€П€П€П€П€?€?€?€?4C€?€?€?€?CCC€?€?€?€П€ПJ—@@ЄJ“PhiJ˜*@U †#  6 J™@HJš@H"B~~-@FNote that the contours are nearly straight within the dielectric rod. 7F9FJ› K+@HK,@H"K-@@ pK.@@^ё€K-K/@@@K.K0@@ŸС€K.K1@@<@K0K2 K*K1K3< I!џџCVSOleClientItem аЯрЁБс>ўџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ§џџџўџџџўџџџўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџRoot EntryџџџџџџџџЅI>'обšщРr РЦ/&t6ЧContentsџџџџџџџџџџџџЪџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ ўџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ ‡Ё і[ŠA5Œу?‡DчJWЦП!<žфTbs@№?џџџџ333џd џ  №П№?`ffіП`ff8@  №П№?№П№?  №П№?`ffіП`ff8@  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџ  џџџџџџџџџџ€?€?@џ€?€?€?@џ€?€?@ џџџџџџ€?€?€?D# >ј€@33ГП33ГП33УA33УA€?K4@@Žp€K0K5@@ У€K4K6@@dK5EXK7@@ЄK5EYK8*@UX#"7C"a0"Q K9@HK:@H"ђп п -@QThese z values are for the vertical lines representing the rod in the plot below:7Q9QK;The y component of the E field values along the midplane are: 7>9>K‰<>KŠ:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1K‹</>KŒ<>K0џџџџ@NormalArialџџџ KŽ*@UЋ#ёЛ#И#K@HK@H"Bщщ-+The j value at the middle of the x axis is:7+9+K‘<+K’:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1K“</+K”<+K•0џџџџ@NormalArialџџџ K–@B@UЃ#]Ш#7И#K—@HK˜@H"K™@@ pKš@@ С€K™K›@@dKšjmidKœ@@ћ€KšK@@dKœjmaxKž@@ДKœ2KŸ@B@Uм#_э#ш#Ž K @HKЁ@H"KЂ@@ pKЃ@@ С€KЂKЄ@@dKЃkKЅ@@Т€KЃKІ@@tKЅ0KЇ@@ˆЧ€KЅKЈ@@dKЇkmaxKЉ@@ДKЇ1KЊ@B@UЬ#=љ#Ќш# KЋ@HKЌ@H"K­@@ pKЎ@@ С€K­KЏ@@§@KЎKА@@dKЏEyKБ@@ЄKЏkKВ@@ћ€KЎKГ@@ˆЧ@KВKД@@§@KГKЕ@@dKДPhiKЖ@@ У€KДKЗ@@dKЖjmidKИ@@‰Ч€KЖKЙ@@dKИkKК@@ДKИ1KЛ@@§€KГKМ@@dKЛPhiKН@@ У€KЛKО@@dKНjmidKП@@ЄKНkKР@@ЄKВ\DyKС*@U$c$$† KТ@HKУ@H"B[[-?Define a range of values to indicate the rod in the plot below:7?9?KФ@@dL=0.5L?@@ЄL=kmaxL@@@–Ф€L:LA@@+@L@@XLB@@€L@LC*@Uг%4#&р%l LD@HLE@H",,P,P-AЧTry it: Show that the solution has converged by doubling the number of iterations and finding that the new solution is near to the old solution. First save part of the matrix Phi (on page 10) by cutting it and using paste special to save it as a bitmap that will not change. Then compare the numbers in the saved matrix to the new matrix found with the number of iterations doubled. Then save this Phi, double the number of iterations again and compare. 7хЧLF<LG8LC}LH<бLI8LCLFLJ< LK8LC}LHLL<тLM8LCLJLLLF9ЧLN<ЧLO:@Wџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџ1LP</ЧLQ<ЧLR0џџџџ@NormalArialџџџ LS*@U+&0k&8&j LT@HLU@H"((@(@-@їNotes 1) In this exercise we assumed that the permittivity of vacuum is unity in order to avoid scientific notation. This has no consequences because the value multiplies all terms in the equation. The e for the dielectric is the relative value. 7ЬїLV<LW8LS}LX<ЦLY8LSLVLZ<L[8LS` SymbolLXL\<+L]8LS` ArialLZL\LV9їL^<L_:@WџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџL`<№La:@WџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџџL^L`L^1Lb</їLc<їLd0џџџџ@NormalArialџџџ Le*@U{&/Ћ&"ˆ&k Lf@HLg@H"''0'0-@•Reference D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Prentice Hall, New Jersey, 1981). The polarization of a dielectric rod is Problem 4.22. 7< •Lh< Li8Le}Lj<Lk8LeLhLl< Lm8Le{LjLn